ベクトル入門

 -電磁気学を学ぶために-

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２.スカラー積

２-１ スカラー積とは？

ベクトルA、Bのスカラー積

1. 記号表現  A·B
   ¶ 別名、ドット積
2. スカラー積の意味  AのB （BのA）への射影
   

スカラー積の特徴

1. スカラー積の値 ABcosθ
   ¶ θはAとBの交わる角度
2. スカラー積の値 -AB≦A·B ≦+AB
   
3. 直交するベクトル（θ=π/2）  スカラー積はゼロ
4. ベクトルAの大きさ A =  (A·A)^1/2
   ¶ θ = 0
5. ベクトルAのx成分  A·i
   ¶ i = 1（単位ベクトル）
6. スカラー積の交換関係 A·B  = B·A
7. 基本ベクトルのスカラー積  i·j =  j·k =  k·i = 0（互いに直交）
   ¶ i·i =  j·j =  k·k = 1
   

２-２ スカラー積の計算

代数的表現

1. スカラー積A·B  A·B =  A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z
   ¶ 各元同士の積の和；基本ベクトルの性質から明らか
2. A、Bの交わる角度の余弦  cosθ = A·B/AB
   ¶ スカラー積÷各ベクトルの大きさ

解析幾何学への応用

1. Oを含む平面上の点P  P·n = 0
   ¶ Pは法線ベクトルnへの射影がゼロ （Pはnに直交）
    -平面Sを表す方程式-
2. 点Aと平面Sとの距離 d  d = A·n
   ¶ Aのnへの射影