ベクトル入門

-電磁気学を学ぶために-

戻る	４.関数のグラディエント（勾配）

４-１ ナブラ演算子

偏微分演算子

1. 多変数関数  f(x₁,x₂,...,x_n)
2. 関数fの変数x_iについての微分係数  偏微分係数 ∂f/∂x_i
   ¶ x_i以外の変数をすべて定数と考えて計算した x_iについての微分係数
3. 偏微分演算子  ∂/∂x_i
   （関数fへ演算子∂/∂x_iをかけた結果）＝ 偏微分係数 ∂f/∂x_i
4. 数学的な記法  (∂/∂x_i)f=∂f/∂x_i

ナブラ演算子とその代表的な演算

1. ナブラ演算子
   偏微分演算子のベクトル ∇
   ¶ 空間座標が基準；（換算係数×偏微分演算子）_i を並べたもの。
2. 一般の座標系（ξ₁,ξ₂,ξ₃) の場合
   （(1/h₁)∂/∂ξ₁, (1/h₂)∂/∂ξ₂, (1/h₃)∂/∂ξ₃)
   ¶ 座標軸方向の傾き（変化率）
   ¶ 係数h_i(i=1,2,3)は変数の微小な増分 Δξ_iを長さに換算
3. デカルト座標系の場合  （∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
   ¶ h_x=h_y=h_z=1
4. ３つの代表的な演算
   • グラディエント(勾配）
   • ダイバージェンス（発散）
   • ローテーション（回転）
5. 数学的な記法  -グラディエント演算の例-
   grad f≡∇f=（∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

４-２ グラディエント(勾配）

数学的表現

1. スカラー関数f(x,y,z)へナブラ演算子∇をかける
   grad f≡∇f=（∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
2. 新たなベクトル  ∇f
3. ベクトル∇fの元  各座標軸方向の関数fの傾き

いくつかの計算例

1. f(x,y,z)=xyz
   ∇f=(yz,zx,xy)
2. f(x,y,z)=r≡(x²+y²+z²) ^1/2
   ∇f=(x/r, y/r, z/r)=(x, y, z)/r≡r/r
   ¶ よく使う公式

４-３ 他の座標系におけるグラディエント（勾配）

極座標の場合

1. 座標系 (r,θ,φ)
2. 換算係数
   • h₁=1
   • h₂=r
   • h₃=r sinθ
3. グラディエント
   grad f≡ （∂f/∂r, (1/r)∂f/∂θ, (1/r sinθ)∂f/∂φ）
   ¶ よく使う公式

円筒座標の場合

1. 座標系 (r,θ,z)
2. 換算係数
   • h₁=1
   • h₂=r
   • h₃=1
3. グラディエント
   grad f≡ （∂f/∂r, (1/r)∂f/∂θ, ∂f/∂z）
   ¶ よく使う公式