ベクトル入門

-電磁気学を学ぶために-

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５-１ ダイバージェンス（発散）

デカルト座標におけるダイバージェンス

1. ベクトル関数  f(x,y,z)= （f_x(x,y,z),f_y(x,y,z), f_z(x,y,z))
2. div演算子  div f(x,y,z)
   ¶ ベクトル関数（f(x,y,z)）に作用
3. ダイバージェンスdiv f(x,y,z)は スカラー関数
   ¶ ベクトルの内積に似ている。
4. 別の表現  div f(x,y,z) ≡∇・f(x,y,z)
5. 数学的な記法  div f= ∂f_x/∂x+ ∂f_y/∂y+ ∂f_z/∂z

ダイバージェンスの物理的な意味

1. 流速の場としてのベクトル関数  （f_x(x,y,z),f_y(x,y,z), f_z(x,y,z))
2. 微小体積  V_xyz= ΔxΔyΔz
3. yz面に平行な面を通る流体の湧きだし量
   Δf_net= f_x(x+Δx)ΔyΔz- f_x(x)ΔyΔz
   • 第1項はx+Δxにあるyz面に平行な面を通る流量/面積
   • 第2項はxにあるyz面に平行な面を通る流量/面積
   ∂f_x/∂xの意味（流体の湧きだし量/体積）
   Δf_net/V_xyz= (f_x(x+Δx)-f_x(x))/Δx ≡∂f_x/∂x
4. div f(x,y,z)の意味
   座標(x, y, z)付近での流体の全湧きだし量/体積

５-２ 他の座標におけるダイバージェンス（発散）

ダイバージェンスの一般形

1. 全湧きだし量/体積を測る微小体積
   V₁₂₃= h₁Δξ₁（たて）× h₂Δξ₂（よこ）× h₃Δξ₃（たかさ）
   ¶ 係数h_i(i=1,2,3)は変数の微小な増分 Δξ_iを長さに換算
2. ξ₁軸方向の湧きだし量
   (∂S₂₃f₁/∂ξ₁) Δξ₁
   S₂₃= h₂Δξ₂ h₃Δξ₃
   ¶ S₂₃は微小な断面積； ξ₂軸、ξ₃軸も同様
3. ダイバージェンス
   div f=(1/V₁₂₃) (∂S₂₃f₁/∂ξ₁+ ∂S₃₁f₂/∂ξ₂+ ∂S₁₂f₃/∂ξ₃)
   ¶ 全湧きだし量/体積;よく使う公式

極座標の場合

1. 座標系 (r,θ,φ)
2. 換算係数
   • h₁=1
   • h₂=r
   • h₃=r sinθ
3. ダイバージェンス
   div f= (1/r²)∂r²f_r/∂r+ (1/r sinθ)∂sinθf_θ/∂θ+ (1/r sinθ)∂f_φ/∂φ;
   ¶ よく使う公式

円筒座標の場合

1. 座標系 (r,θ,z)
2. 換算係数
   • h₁=1
   • h₂=r
   • h₃=1
3. ダイバージェンス
   div f= (1/r)∂rf_r/∂r+ (1/r)∂f_θ/∂θ+ ∂f_z/∂z
   ¶ よく使う公式