熱伝導度

結晶の$x$方向の両端の温度 $= T_{1}$，$T_{2}$，温度傾斜 $= {{\rm d}T \over{{\rm d}x}}$
(3-6)式の拡張
点$x$の温度$T(x)$で平均をとったフォノン系の分布 $= \langle n_{k}\rangle_{x}$，エネルギー密度 $= E(x)$

$$E = \sum_{k}\langle n_{k}\rangle\hbar\omega_{k} = \int_{0}^{\omega_{\rm D}}{\rm d}\omega N(\omega)\hbar\omega\langle n_{\omega}\rangle,$$ (2.3.41)

フォノンの速さ $= v$，平均自由時間 $= \tau$，平均自由行路 $= l = v\tau$
あるモードにあるフォノンが衝突なしに$x - \Delta x$から$x$に来たとする．2つの温度は異なるため平衡分布が異なるから，運ばれた余分のエネルギーは

$$[\langle n_{k}\rangle_{x - \Delta x} - \langle n_{k}\rangle_{x}]\hbar\omega_{k},$$ (2.3.42)

フォノンはあらゆる方向に進むから， $\mbox{\boldmath$k$}$と $\mbox{\boldmath$x$}$軸のなす角を$\theta$とし， $\Delta x = l\cos\theta$とおくと，熱流密度は

$$j = \langle v_{x}\sum_{k}[\langle n_{k}\rangle _{x - \Delta x} - ... ... -{1 \over{3}}lv{\partial E(x) \over{\partial T}}{\partial T \over{\partial x}}$$ (2.3.43)

$$j = \kappa(-{{\rm d}T \over{{\rm d}x}}),$$ (2.3.44)

$$\kappa = {1 \over {3}}lv{\partial E(x) \over{\partial T}} = {1 \over{3}}C_{\rm V}lv,$$ (2.3.45)

$\kappa$：熱伝導度，$\kappa^{-1}$：熱抵抗