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フォノンとX線散乱

原子間距離と同程度の波長をもつX線(フォトン)とフォノンの散乱 $\omega_{0} = \frac{2\pi c}{\lambda_{0}} \gg \omega_{k} \longrightarrow \hbar\omega_{0} = \hbar\omega_{1}$(弾性散乱)
逆格子点 $\mbox{\boldmath$K$}_{hkl}$におけるX線散乱強度
$\displaystyle I(\mbox{\boldmath$K$}_{hkl}) = I_{\rm e}N^{2}\vert F(\mbox{\boldm...
...{j}f_{j}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$K$}_{hkl}\cdot\mbox{\boldmath$r$}_{j}},$     (2.4.52)

X線とフォノンの散乱 $\longrightarrow$ $j$原子の位置ベクトル $\mbox{\boldmath$r$}_{j}$が単位格子によって少しずつ異なる.
$n$番目の単位格子によるX線散乱振幅(フォノンによる原子変位 $ = \mbox{\boldmath$u$}_{nj}$
$\displaystyle F_{n}(\mbox{\boldmath$K$}) = \sum_{j}f_{j}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\...
...boldmath$r$}_{j}}(1 + {\rm i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$u$}_{nj}),$     (2.4.53)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$K$} = \mbox{\boldmath$k$}_{1} - \mbox{\boldmath$k...
...dmath$k$}_{0}\vert = \vert\mbox{\boldmath$k$}_{1}\vert = {2\pi \over{\lambda}},$     (2.4.54)

結晶全体のX線散乱振幅及び散乱強度:
$\displaystyle F_{\rm c}(\mbox{\boldmath$K$}) = \sum_{n}F_{n}(\mbox{\boldmath$K$...
...math$u$}_{nj}){\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$R$}_{n}},$     (2.4.55)


$\displaystyle I(\mbox{\boldmath$K$}) = I_{\rm e}\langle F_{\rm c}(\mbox{\boldma...
...i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot(\mbox{\boldmath$R$}_{n} - \mbox{\boldmath$R$}_{n'})}$      
$\displaystyle + I_{\rm e}\sum_{nn'}\sum_{jj'}f_{j}f_{j'}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\...
...{\rm i}(\mbox{\boldmath$k$} + \mbox{\boldmath$K$})\cdot\mbox{\boldmath$R$}_{n}}$      
$\displaystyle = N\delta(\mbox{\boldmath$k$} + \mbox{\boldmath$K$} - \mbox{\boldmath$K$}_{hkl}),$     (2.4.56)


$\displaystyle {1 \over{2}}\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{2}\langle Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{*}\rangle = {1 \over{2}}k_{\rm B}T,$     (2.4.57)


$\displaystyle I(\mbox{\boldmath$K$})$ $\textstyle =$ $\displaystyle I_{\rm e}N^{2}\vert F(\mbox{\boldmath$K$}_{hkl})\vert^{2}$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle I_{\rm e}\sum_{nn'}\sum_{jj'}\sum_{\mbox{\boldmath$k$}s}f_{j}f_{j...
...cdot(\mbox{\boldmath$R$}_{n} - \mbox{\boldmath$R$}_{n'})}I(\mbox{\boldmath$K$})$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle I_{\rm e}N^{2}\vert F(\mbox{\boldmath$K$}_{hkl})\vert^{2} + I_{\rm D}(\mbox{\boldmath$K$}),$ (2.4.58)


$\displaystyle I_{\rm D}(\mbox{\boldmath$K$}) = I_{\rm e}Nk_{\rm B}T\sum_{s}{\ve...
...th$k$}s}(\mbox{\boldmath$K$})\vert^2 \over{\omega_{\mbox{\boldmath$K$}s}^{2}}},$     (2.4.59)


$\displaystyle \mbox{\boldmath$K$} = \mbox{\boldmath$K$}_{hkl} \pm \mbox{\boldmath$k$},$     (2.4.60)


$\displaystyle F_{\mbox{\boldmath$k$}s}(\mbox{\boldmath$K$}) = \sum_{j}{\mbox{\b...
...t{m_{j}}}}f_{j}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$r$}_{j}}$     (2.4.61)

$\pm\mbox{\boldmath$k$}$:1つのフォノンの吸収・放出 $\longrightarrow$散漫散乱
散漫散乱強度:$\omega_{ks}$の2乗に逆比例 $\longrightarrow$低振動数フォノンの分散関係の決定
図 2.2: 古典的磁石と電子スピン磁石
\includegraphics[width=8cm, clip]{g1-2.eps}
低温でのX線散漫散乱強度
$\displaystyle \langle Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{*}\rang...
...le\hbar\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s} \over{\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{2}}},$     (2.4.62)
$\displaystyle \langle n_{\mbox{\boldmath$k$}s}\rangle = {1 \over{{\rm e}^{\hbar\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s}/k_{\rm B}T} - 1}},$     (2.4.63)

図 2.3: 古典的磁石と電子スピン磁石
\includegraphics[width=8cm, clip]{g1-3.eps}

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Masashige Onoda 平成18年4月7日