強く束縛された電子の近似

結晶中を動き回る電子状態（ブロッホ関数で表される状態）も，もとは自由原子の固有状態に由来する．
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原子間距離が大きい場合には，各原子核付近での電子の振る舞いは，自由原子のときの電子状態がある程度保存されているだろう．
ブロッホ関数は，各原子核を中心にした原子軌道の1次結合で近似できると考える．

$$\psi_{a\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}) = {1 \over{\sqrt... ...m i}\mbox{\boldmath$k$}\cdot\mbox{\boldmath$R$}_{n}},\ \ \ N = N_{1}N_{2}N_{3},$$ (3.4.34)

$$\int{\rm d}\mbox{\boldmath$r$}\phi_{a}^{*}(\mbox{\boldmath$r$} - ... ...hi_{b}(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n}) = \delta_{ab}\delta_{mn},$$ (3.4.35)

$\phi_{a}(\mbox{\boldmath$r$})$として方向性のないs軌道を考える．

$$\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}} = \int{\rm d}\mbox{\boldmath$r$}\p... ... + U(\mbox{\boldmath$r$})\right]\psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$})$$ (3.4.36)

$$= {1 \over{N}}\sum_{m, n}\int{\rm d}\mbox{\boldmath$r$}\phi^{*}(\... ...ldmath$R$}_{n}){\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$k$}\cdot\mbox{\boldmath$R$}_{n}}$$ (3.4.37)

$$= {1 \over{N}}\sum_{m, n}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$k$}\cdot... ...\mbox{\boldmath$r$})\right]\phi(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n}),$$ (3.4.38)

$U(\mbox{\boldmath$r$})$は結晶格子定数とともに周期的だから，

$$U(\mbox{\boldmath$r$}) = U(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n}),$$ (3.4.39)

$n$番目の原子について，自由原子の状態のときに働くポテンシャルエネルギー $= U_{0}(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n})$

$$\left[-{\hbar^{2} \over{2m}}\Delta + U(\mbox{\boldmath$r$})\right... ...\boldmath$R$}_{n}) = \alpha\phi(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n}),$$ (3.4.40)

$$\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}} = {1 \over{N}}\sum_{m, n}{\rm e}^{... ...(\mbox{\boldmath$r$})\right]\phi(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n})$$ (3.4.41)

$$= \alpha + {1 \over{N}}\sum_{m, n}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath... ...ox{\boldmath$R$}_{n})\right]\phi(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n})$$ (3.4.42)

$$= \alpha + {1 \over{N}}\sum_{m, n}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath... ...ox{\boldmath$R$}_{n})\right]\phi(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n})$$ (3.4.43)

$$\longrightarrow \alpha - \epsilon_{1}\sum_{n}^{{\rm nn}}{\rm e}^{... ...i}\mbox{\boldmath$k$}\cdot(\mbox{\boldmath$R$}_{n} - \mbox{\boldmath$R$}_{m})},$$ (3.4.44)

$$U(\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n}) - U_{0}(\mbox{\b... ...$r$} - \mbox{\boldmath$R$}_{n}) < 0\ \ \ \longrightarrow\ \ \ \epsilon_{1} > 0,$$ (3.4.45)

図 3.6: 古典的磁石と電子スピン磁石

(4-5)式を単純立方格子の場合について計算してみる．
最隣接格子点 $= (\pm a, 0, 0),\ (0, \pm a, 0),\ (0, 0, \pm a)$

$$\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}} = \alpha - \epsilon_{1}({\rm e}^{{... ... {\rm e}^{-{\rm i}k_{2}a} + {\rm e}^{{\rm i}k_{3}a} + {\rm e}^{-{\rm i}k_{3}a})$$ (3.4.46)

$$= \alpha - 2\epsilon_{1}(\cos k_{1}a + \cos k_{2}a + \cos k_{3}a),$$ (3.4.47)