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: 強く束縛された電子の近似 : 電子状態とバンド構造 : 自由電子モデル   目次

ブロッホの定理

格子定数a,結晶の長さNaの1次元系を考える.
$\displaystyle U(\mbox{\boldmath$x$}) = U(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$}),$     (3.3.22)

このポテンシャル中でのシュレーディンガー方程式を解く.
$\displaystyle \psi(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$}) = C\psi(\mbox{\boldmath$x$}),$     (3.3.23)

すべての格子点は同等→どの格子点でも電子の発見確率は等しい
$\displaystyle \vert\psi(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$})\vert^{2} = \vert\psi(\mbox{\boldmath$x$})\vert^{2},$     (3.3.24)

すなわち, $\psi(\mbox{\boldmath$x$})$ $\psi(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$})$は同一であるか,異なっていても位相因子 ${\rm e}^{{\rm i}\theta}$ だけでなければならない.周期的境界条件より,
$\displaystyle \psi(\mbox{\boldmath$x$} + N\mbox{\boldmath$a$}) = \psi(\mbox{\boldmath$x$}) = C^{N}\psi(\mbox{\boldmath$x$}),$     (3.3.25)
$\displaystyle C = {\rm exp}(\frac{{\rm i}2\pi n}{N})\ \ \ (n = 0, 1, \cdots, N-1)$     (3.3.26)

したがって次の関数(ブロッホ関数)を用いればよい.
$\displaystyle \psi_{k}(x) = u_{k}(x){\rm e}^{{\rm i}kx},\ \ \ u_{k}(x) = u_{k}(x + a),\ \ \ k = {2n\pi \over{Na}},$     (3.3.27)
$\displaystyle \psi_{k}(x + a) = {\rm e}^{{\rm i}ka}\psi_{k}(x)$     (3.3.28)

格子定数$a$だけずれるごとに位相が$ka$だけずれる.

3次元の場合も同様である.

$\displaystyle U(\mbox{\boldmath$r$}) = U(\mbox{\boldmath$r$} + \mbox{\boldmath$a$}),$     (3.3.29)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$a$} = (a_{1}, 0, 0),\ \ \ (0, a_{2}, 0),\ \ \ (0, 0, a_{3})$     (3.3.30)


$\displaystyle \psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$} + \mbox{\boldmath$...
...th$k$}\cdot\mbox{\boldmath$T$}}\psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}),$     (3.3.31)


$\displaystyle \psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}) = u_{\mbox{\boldm...
...ldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}) = (\mbox{\boldmath$r$} + \mbox{\boldmath$a$}),$     (3.3.32)
$\displaystyle \mbox{\boldmath$k$} = \left({2n_{1}\pi \over{N_{1}a_{1}}}, {2n_{2}\pi \over{N_{2}a_{2}}}, {2n_{3}\pi \over{N_{3}a_{3}}}\right),$     (3.3.33)

ブロッホの条件式
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Masashige Onoda 平成18年4月7日