自由電子モデル

「価電子を取り出した正電荷をもつ原子心をぬりつぶし，それによるポテンシャル中を価電子が自由に動き回る」（金属の価電子=伝導電子）Drudeによる固体電子論の基礎的考察に使われた．
一様なポテンシャル中での電子に関するシュレーディンガー方程式

$$(- {\hbar^{2} \over{2m}}\Delta + U_{0})\psi(\mbox{\boldmath$r$}) = \epsilon\psi(\mbox{\boldmath$r$}),$$ (3.2.1)

$$\psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}) = {1 \over{\sqrt{V}}}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$k$}\cdot\mbox{\boldmath$r$}},$$ (3.2.2)

$$\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}} = {\hbar^{2} \over{2m}}(k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + k_{3}^{2}) + U_{0} = {\hbar^{2}k^{2} \over{2m}} + U_{0},$$ (3.2.3)

エネルギースペクトル：放物線型
エネルギー等高線：球型
電子のつまった最高の準位=フェルミ準位
$k$空間におけるフェルミ準位上でのエネルギー等高線=フェルミ面

図 3.3: 古典的磁石と電子スピン磁石

波動関数に対する周期的境界条件
${\rm d}\mbox{\boldmath$k$} = {\rm d}k_{1}{\rm d}k_{2}{\rm d}k_{3}$の体積要素の中に含まれる状態数${\rm d}N$：

$${\rm d}N = {\rm d}p_{1}{\rm d}p_{2}{\rm d}p_{3} = {L_{1}L_{2}L_{3... ..._{1}{\rm d}k_{2}{\rm d}k_{3} = {V \over{(2\pi)^{3}}}{\rm d}\mbox{\boldmath$k$},$$ (3.2.4)

$$N = {V \over{(2\pi)^3}}{4\pi k^{3} \over{3}},$$ (3.2.5)

$$N(k)dk = {V \over{(2\pi)^{3}}}4\pi k^{2}{\rm d}k,\ \ \ (k\ \sim {\rm d}k),$$ (3.2.6)

$$N = {V \over{6\pi^{2}\hbar^{3}}}(2m\epsilon)^{3/2},\ \ \ (\epsilon = {\hbar^{2}k^{2} \over{2m}}),$$ (3.2.7)

$$N(\epsilon){\rm d}\epsilon = {V(2m)^{3/2} \over{4\pi^{2}\hbar^{3}}}\epsilon^{1/2}{\rm d}\epsilon,$$ (3.2.8)

$N(\epsilon) =$ 状態密度（スピン自由度 2倍）
総数$N$の電子を収容したときのフェルミ波数とフェルミエネルギー

$$N = 2\times{V \over{(2\pi)^{3}}}{4\pi k_{\rm F}^{3} \over{3}} = {... ...^{3} \over{3\pi^{2}}} = {V(2m\epsilon_{\rm F})^{3/2} \over{3\pi^{2}\hbar^{3}}},$$ (3.2.9)

原子が$N_{0}$個あり，各原子が$Z$個の価電子を供出した場合

$$\frac{N_{0}}{V} \simeq 10^{22},\ \ \ Z = 1,$$ (3.2.10)

$$k_{\rm F} = ({3\pi^{2}N \over{V}})^{1/3} = (3\pi^{2}\times10^{22})^{1/3} \simeq 0.7\times10^{8} {\rm cm}^{-1},$$ (3.2.11)

$$\epsilon_{\rm F} = {1 \over{2m}}({3\pi^{2}\hbar^{3}N \over{V}})^{... ...es10^{-34} {\rm J}\cdot{\rm s})^{2} = 2.5\times10^{-19} {\rm J} = 2.5 {\rm eV},$$ (3.2.12)

$$v_{\rm F} = {k _{\rm F} \over{m}} = {1\times10 ^{-34} {\rm J}\cdo... ...m}^{-1} \over{9\times10^{-31} {\rm kg}}}\simeq 0.8\times10^{8} {\rm cm}/{\rm s}$$ (3.2.13)

※ 古典論
エネルギーの最も低い状態では電子はすべて静止している．有限温度での電子の平均速度は

$${1 \over{2}}mv^{2} = {3 \over{2}}k_{\rm B}T,\ \ \ v = \sqrt{{3k_{\rm B}T \over{m}}},$$ (3.2.14)

$$T = 300 {\rm K},\ \ \ v = 1\times10^{7} {\rm cm}/{\rm s}$$ (3.2.15)

フェルミ面上の電子は基底状態でありながら，上記の値よりも高速で動いている．（パウリ原理による）
有限温度における電子の振る舞い
分布関数$f(E)$（エネルギー$E$の量子状態に存在する電子の平均数）に基づいて考える．

$$T = 0 {\rm K},\ \ \ f(\epsilon) = 1 (\epsilon < \epsilon_{\rm F})$$ (3.2.16)

図 3.4: 古典的磁石と電子スピン磁石

$k_{\rm B}T \ll \epsilon_{\rm F}$の条件
励起可能な電子 = フェルミ面近傍の電子( $\epsilon \geq \epsilon_{\rm F} - k_{\rm B}T$)
フェルミ球の外で $f(\epsilon) \ne 0$となる領域 = $\epsilon \leq \epsilon_{\rm F} + k_{\rm B}T$ 有限温度における分布関数

$$f(\epsilon) = {1 \over{{\rm e}^{\frac{\epsilon - \mu}{k_{\rm B}T}... ...psilon) \over{{\rm e}^{\frac{\epsilon - \mu}{k_{\rm B}T}} + 1}}{\rm d}\epsilon,$$ (3.2.17)

図 3.5: 古典的磁石と電子スピン磁石

比熱の計算
縮退した電子系のもつ内部エネルギー$E$

$$\langle E \rangle = \int{\rm d}\epsilon\cdot2\epsilon N(\epsilon)... ...T)^{2}[{{\rm d}(\epsilon N(\epsilon)) \over{{\rm d}\epsilon}}]_{\epsilon = \mu}$$ (3.2.18)

電子比熱

$$C = {2 \over{3}}\pi^{2}k_{\rm B}^{2}N(\epsilon_{\rm F})T \equiv \gamma T,$$ (3.2.19)

金属の全比熱

$$C = \gamma T + \alpha T^{3},$$ (3.2.20)

$$\gamma = {2 \over{3}}\pi^{2}k_{\rm B}^{2}N(\epsilon_{\rm F}),\ \ \ \alpha = {12 \over{5}}\pi^{4}Nk_{\rm B}{1 \over{\theta_{\rm D}^{3}}},$$ (3.2.21)