偏微分法と勾配

二個の独立変数$x$，$y$のうちの一個，たとえば$y$を固定して$x$だけを変化させたときの関数$f$($x$，$y$)の変化，すなわち

$${\partial f(x, y)\over{\partial x}} \equiv \lim_{\Delta x \to 0}{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)\over{\Delta x}},$$

を考えよう．これを関数$f$($x$，$y$)の$x$に関する偏微分係数という．また二階以上の偏微分係数，$\partial^{2}f$/ $\partial x\partial y$，$\partial^{2}f$/ $\partial y\partial x$などの関数が存在し，これらの関数が連続関数であるときには，

$${\partial^{2} f(x, y)\over{\partial x \partial y}} = {\partial^{2} f(x, y)\over{\partial y \partial x}},$$

の関係が成り立つ．

$f$($x$，$y$)の全微分は

$$d f(x, y) = f(x + dx, y + dy) - f(x, y),$$

で定義される．このとき，

$$d f(x, y) = {f(x + dx, y + dy) - f(x, y + dy)\over{dx}} dx + {f(x, y + dy) - f(x, y)\over{dy}} dy$$

$$= {\partial f(x, y + dy)\over{\partial x}}dx + {\partial f(x, y)\over{\partial y}}dy$$

$$= {\partial f(x, y)\over{\partial x}}dx + {\partial f(x, y)\over{\partial y}}dy,$$

の関係が成り立つ．このことは三変数関数$f$($x$，$y$, $z$)についても同様である．

$$d f(x, y, z) = {\partial f(x, y, z)\over{\partial x}}dx + {\partial f(x, y, z)\over{\partial y}}dy + {\partial f(x, y, z)\over{\partial z}}dz.$$

上式の偏微分の操作を形式的にベクトルの三成分とみなし，

$$\nabla \equiv \left ( {\partial\over{\partial x}},\ {\partial\over{\partial y}},\ {\partial\over{\partial z}} \right ),$$ (1.3.38)

$$d\mbox{\boldmath$r$} = (dx,\ dy,\ dz),$$ (1.3.39)

とおくと，

$$df(x, y, z) = df(\mbox{\boldmath$r$}) = \nabla f \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (1.3.40)

$$f(\mbox{\boldmath$r$} + d\mbox{\boldmath$r$}) - f(\mbox{\boldmath$r$}) = \nabla f \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (1.3.41)

となる．$\nabla$はナブラ（nabla）と呼ばれる．

図 1.10: グラディエント

$f$($r$) = 一定値$c$とすれば，図1.10のように，これは三次元空間の中の一つの曲面$S$を与える．ここで$r$ + $d$$r$が曲面$S$上にあるときは，

$$\mbox{\boldmath$\nabla$}f \cdot d\mbox{\boldmath$r$} = 0,$$ (1.3.42)

となる．すなわち，$\nabla$$f$ $\perp$ $d$$r$を得る．$d$$r$の方向は任意にとれるので，$\nabla$$f$は点$r$において面$S$に直交するベクトルである．$\nabla$$f$は$f$($r$)の勾配（グラディエント；gradient），

$${\rm grad} f(\mbox{\boldmath$r$}) = \left ( {\partial f(\mbox{\bo... ...over{\partial y}}, {\partial f(\mbox{\boldmath$r$})\over{\partial z}} \right ),$$ (1.3.43)

を表す．