静電場のエネルギー

図 1.20: 電荷$Q$を受けとった半径$a$の導体球

図1.20のように，半径$a$の導体球に電荷$Q$を与えたとする．このとき，まわりの空間における静電ポテンシャルは，導体球の中心から観測点までの距離を$R$とすると，

$$\phi(R) - \phi(\infty) = -\int_{\infty}^{R}{Q\over{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}}dr = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}R}},$$ (1.6.84)

となる．ここで$\phi$($\infty$)は，$R$ $\to$ $\infty$での電位である．導体球面上の電位は，

$$\phi(a) - \phi(\infty) = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}a}},$$ (1.6.85)

となる．ここで電位差$\phi$($a$) - $\phi$($\infty$)の値を1 [V]だけ上昇させるに要する導体球上の電荷の増加量を$C$とすると，

$$C \equiv {Q\over{\phi(a) - \phi(\infty)}} = 4\pi\epsilon_{0}a.$$ (1.6.86)

一般に空間内に孤立して置かれた導体において，それに与えた電荷$Q$とその表面$S$上の電位$\phi$($S$)と無限の遠方の電位$\phi$($\infty$)の電位差の比，

$$C \equiv {Q\over{\phi(S) - \phi(\infty)}},$$ (1.6.87)

を孤立導体の静電容量という．

図 1.21: 微小電荷$\Delta q$の移動

電荷$q$が導体表面上に分布しているとき，これにさらに微小電荷$\Delta$$q$を無限の遠方からもってきて，導体表面$S$上まで運び込む（図1.21）．このとき外からなすべき仕事の量$\Delta$$W$は，

$$\Delta W = \Delta q \int_{\infty}^{\rm A}{\rm grad} \phi(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$} = \Delta q [\phi(S) - \phi(\infty)],$$ (1.6.88)

である．Aは導体表面上の任意の点である．$\Delta$$q$を導体に近づけると，一般には導体表面上の電荷の分布は変化し，それに伴って電荷$q$の作る静電ポテンシャルも変化するが，ここではそのような変化を無視できるほど，$\Delta$$q$は微小な電荷であるとする．ここで(1.6.4)式を用いると，

$$\Delta W = C^{-1}q\Delta q,$$ (1.6.89)

と書ける．すなわち，はじめ帯電していない導体に次々に電荷を運び込み，最後に導体上の電荷が$Q$になるまでに外からなす仕事の全量は，

$$W = \int dW = C^{-1}\int_{0}^{Q}qdq = {Q^{2}\over{2C}},$$ (1.6.90)

で表される．これが導体のもつ静電エネルギー$U$$_{\rm e}$である．上式では，$U$$_{\rm e}$は導体そのものに蓄えられているという表現になっている．

ファラデーは，このエネルギーが空間内に生じたエーテルの歪みのエネルギーとして，空間内に蓄えられていると考えた．$\phi$($\infty$) = 0とすると，静電エネルギーは，

$$U_{\rm e} = {Q^{2}\over{2C}} = {1\over{2}}\phi(S)Q,$$ (1.6.91)

と書ける．導体表面を微小面に分割し，$S$上の点Aにおける微小面の面積を $\Delta S_{\rm A}$，その場所の電荷の表面密度を $\sigma_{\rm A}$と書くと，

$$U_{\rm e} = {1\over{2}}\sum_{\rm A}\phi_{\rm A}\sigma_{\rm A}\Delta S_{\rm A},$$ (1.6.92)

と表される．ここで$\phi$$_{\rm A}$は点Aの電位で，これは導体表面の全体で同じ値をもつ．

図 1.22: 導体外の空間内の静電場

図1.22のように，導体外の空間内の静電場の等電位面を，

$\phi$$_{\rm A}$, $\quad$ $\phi$$_{1}$, $\quad$ $\phi$$_{2}$, $\quad$ $\ldots$

とし，それらの間の微小間隔を，

$\Delta$$r$$_{\rm A}$, $\quad$ $\Delta$$r$$_{1}$, $\quad$ $\Delta$$r$$_{2}$, $\quad$ $\ldots$

とおく．また， $\Delta S_{\rm A}$, $\quad$ $\Delta S_{\rm 1}$, $\quad$ $\Delta S$$_{\rm 2}$, $\quad$ $\ldots$面上の電場の大きさを，

$E$$_{\rm A}$, $\quad$ $E$$_{\rm 1}$, $\quad$ $E$$_{\rm 2}$, $\quad$ $\ldots$

とおくと，ガウスの法則から

$$E_{\rm A} \Delta S_{\rm A} = {\sigma_{\rm A}\over{\epsilon_{0}}} \Delta S_{\rm A},$$

$$= E_{\rm 1} \Delta S_{\rm 1} = E_{\rm 2} \Delta S_{\rm 2} = \ldots, \nonumber$$

と書ける．したがって，

$$\phi_{\rm A} \sigma_{\rm A} \Delta S_{\rm A} = {\phi_{\rm A} - \phi_{1}\over{\Delta r_{\rm A}}} \sigma_{\rm A} \... ...1} - \phi_{2}\over{\Delta r_{1}}} \sigma_{1} \Delta S_{1} \Delta r_{1} + \ldots$$

$$= \epsilon_{0} {\phi_{\rm A} - \phi_{1}\over{\Delta r_{\rm A}}} E_{... ...\phi_{2}\over{\Delta r_{1}}} E_{1} \Delta S_{1} \Delta r_{1} + \ldots \nonumber$$

$$= \epsilon_{0} E_{\rm A}^{2} \Delta^{3} r_{\rm A} + \epsilon_{0} E_{\rm 1}^{2} \Delta^{3} r_{\rm 1} + \ldots, \nonumber$$

と表される．ここで $\Delta^{3}r_{i}$ $\equiv$ $\Delta S_{i}\Delta r_{i}$とした．こうして，

$$U_{\rm e} = {1\over{2}} \sum_{\rm A} \phi_{\rm A} \sigma_{\rm A} ... ...\epsilon_{0}\over{2}} \int \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})^{2} d^{3}r,$$ (1.6.93)

となる．(1.6.10)式で表された静電エネルギーは(1.6.8)式と異なり，空間内に蓄えられているということは明らかである．空間内の場所$r$におけるエネルギー密度は，

$$u_{\rm e}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\epsilon_{0}\over{2}} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})^{2},$$ (1.6.94)

となる．

(1.6.10)式を用いれば，半径$a$の導体球に電荷$Q$を与えたときの静電場のエネルギーは，

$$U_{\rm e} = {\epsilon_{0}\over{2}} \int \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r... ...heta d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})^{2}$$

$$= {\epsilon_{0}\over{2}} \int_{a}^{\infty} \left ( {Q \over {4 \pi ... ...{0} r^{2}}} \right )^{2} 4 \pi r^{2} dr = {Q^{2} \over {8 \pi \epsilon_{0} a}},$$

となる．