オームの法則

図2.2に示すように，導線上の二点間の電位差を $\phi_{1} - \phi_{2}$( $\phi_{1} > \phi_{2}$)としたとき，その二点間に流れる電流の強さ$I$は電位差に比例する．この比例定数を$R$とおけば，

$$I = {\phi_{1} - \phi_{2} \over{R}},$$ (2.2.5)

図 2.2: オームの法則

と与えられる．これを「オームの法則」という．$R$を電気抵抗といい，それは実験によると導線の二点間の長さ$l$に比例し，その断面積$S$に反比例する．すなわち，

$$R = \rho{ l \over{S}},$$ (2.2.6)

と表される．$\rho$を抵抗率とよび，導線の形や長さに関係しない．$\rho$の逆数 $\sigma = \frac{1}{\rho}$を電気伝導度という．電気抵抗の単位は，1 [$\Omega$（オーム）] = 1 [VA$^{-1}$]で表される．

(2.2.1)の法則を近接作用の立場に適合した形式に書き直そう．

図 2.3: 近接作用の立場に立ったオームの法則

図2.3のような断面積$\Delta S$，長さ$\Delta x$の微小な円筒を考え，その全電気抵抗を$\Delta R$とおく．円筒の底面の電位を $\phi + \Delta\phi$，上面の電位を$\phi$とすると，円筒導体内の電流$I$は下から上へ流れる．すなわち電位の上昇方向と，電流の方向は反対向きであるから，

$$-\Delta \phi = I \Delta R,$$ (2.2.7)

となる．電流密度を$i$とすると，$I$ = $i\Delta S$，また(2.2.2)より， $\Delta R = \frac{1}{\sigma}\frac{\Delta x}{\Delta S}$であるので，

$$i = -\sigma {\Delta \phi \over{\Delta x}},$$ (2.2.8)

と表される．これをベクトル形式で書き直すと，

$$\mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}) = -\sigma {\rm grad}\ \phi(\mbox{\boldmath$r$}),$$ (2.2.9)

となる．導体内に電位差のある場合も，電場は，

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) = -{\rm grad}\ \phi(\mbox{\boldmath$r$})，$$ (2.2.10)

と表されるので，

$$\mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}) = \sigma \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}),$$ (2.2.11)

となる．

静電的現象においては，帯電した導体の電荷は常にその表面上に分布している．その意味で，電荷の流れが電流であるならば，その電流は導体の表面上を流れるのではないか？と考えてしまうかもしれない．しかし，このときは電気抵抗が導線の半径に反比例するはずで，「電気抵抗は導線の断面積に反比例し，電流は導体の内部を流れている」という実験結果と一致しない．

導体内の電子の運動の様子を調べることによって，オームの法則を導こう．電子の質量を$m$，電荷を$e$とすると，電子の運動方程式は，

$$m{d \mbox{\boldmath$v$} \over{dt}} = e \mbox{\boldmath$E$} - {m \over{\tau}} \mbox{\boldmath$v$},$$ (2.2.12)

で与えられる．$E$は導体内の電場，第2項は導体を構成する原子との衝突を表し，$\tau$は緩和時間である．加速力と減速力が釣り合ったとき，電子の運動は定常的になる．このとき，

$$\mbox{\boldmath$v$} = \left ( {e \tau \over{m}} \right ) \mbox{\boldmath$E$},$$

が成立する．導体の単位体積中の自由電子数を$N$とおくと，単位時間当り，単位面積の断面を通過する電荷量は$Ne$$v$で与えられるので，電流密度は，

$$\mbox{\boldmath$i$} = Ne\mbox{\boldmath$v$} = {Ne^{2}\tau \over{m}}\mbox{\boldmath$E$},$$ (2.2.13)

となる．(2.2.7)式と(2.2.9)式より

$$\sigma = {Ne^{2}\tau \over{m}},$$ (2.2.14)

を得る．