運動する導線内に発生する起電力

(4.1.1)式の法則は，(4.1.7)式の場合のように$B$($r$, $t$)の時間的変化によって誘導電場$E$($r$, $t$)が発生することのほかに，時間的に一定な磁場の中で導線回路を運動させたとき，その回路を切る磁束が変化し，それに伴ってその回路内に起電力が発生することも表している．

いま，磁束密度は時間的に変化せず$B$($r$)で表されるとしよう．この磁場の中でコイル$C$を速度$v$で動かす．微小時間$\Delta t$の間におけるコイルの移動距離と方向とは$v$$\Delta t$で与えられる．この移動したコイルを$C'$で表す．このとき次の関係が成り立つ．

「コイル$C'$を貫く磁束$\Phi_{C'}$」
= 「$C$を貫く磁束$\Phi_{C}$」 + 「$C$と$C'$とでつくられる立体の側面を貫く磁束$\Phi_{CC'}$」

すなわち，$\Delta t$の間における磁束の変化$\Delta \Phi$は，$C$と$C'$とでつくられる立体の側面を貫く磁束によって与えられる．

$$\Delta \Phi = \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot (\mbox{\boldmath$v... ...boldmath$r$}) \cdot (\mbox{\boldmath$v$} \times d \mbox{\boldmath$r$}) \Delta t$$ (4.2.8)

$$= d \mbox{\boldmath$r$} \cdot (\mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$... ...\mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$})) \cdot d \mbox{\boldmath$r$} \Delta t.$$

したがって，側面全体を貫く磁束$d\Phi$は，

$$d\Phi = \int_{C} \Delta \Phi = -\int_{C} \left ( \mbox{\boldmath$... ...boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \right ) \cdot d\mbox{\boldmath$r$} \Delta t,$$

となる．単位時間当りの磁束の変化は，

$${d\Phi \over{dt}} = \int_{C} \Delta \Phi = -\int_{C} \left ( \mbo... ...s \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \right ) \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (4.2.9)

となる．(4.2.2)式を(4.1.1)式に代入することにより，コイル内に発生する起電力$\phi$は，

$$\phi = -k{d\Phi \over{dt}} = k \int_{C} \left ( \mbox{\boldmath$v... ...s \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \right ) \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (4.2.10)

と書ける．一方(4.1.3)式から，

$$\phi = \int_{C} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (4.2.11)

であるので，(4.2.3)式と(4.2.4)式を組み合わせることにより，

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) = k\mbox{\boldmath$v$} \times \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}),$$ (4.2.12)

を得る．(4.2.5)式で与えられる誘導電場$E$の存在する導線内の1点$r$$'$に点電荷$e$があると，これに働く力は，

$$\mbox{\boldmath$F$}(\mbox{\boldmath$r$}') = e \mbox{\boldmath$E$}... ...$}') + e \mbox{\boldmath$v$} \times \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}') ,$$ (4.2.13)

となる．(4.2.6)式はローレンツ力にほかならない．これから(4.1.1)式の比例定数$k$は1でなければならないことがわかる．