自由空間における電磁波

電荷密度および電流密度の値が0であるような空間の領域を考え，この領域を自由空間と呼ぶことにする．この自由空間においては，マクスウェルの方程式は次のように表される．

$${\rm rot}\ \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) + {\partial \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial t}} = 0,$$ (5.5.29)

$${\rm rot}\ \mbox{\boldmath$H$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - {\partial \mbox{\boldmath$D$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial t}} = 0,$$ (5.5.30)

$${\rm div}\ \mbox{\boldmath$D$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = 0,$$ (5.5.31)

$${\rm div}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = 0.$$ (5.5.32)

ここで，

$$\mbox{\boldmath$D$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = \epsilon \mbox{\bol... ...$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = \mu \mbox{\boldmath$H$}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$ (5.5.33)

が成立しているものと仮定する．自由空間が真空の場合には，(5.5.5)式で$\epsilon$ = $\epsilon_{0}$，$\mu$ = $\mu_{0}$とおけばよい．

(5.5.1)式および(5.5.2)式からわかるように，磁場の時間的変化は電場を生み出し，また逆に電場の時間的変化によって磁場が生み出される．この電磁場は(5.5.3)式と(5.5.4)式を初期条件として満たしていなければならない．

(5.5.1)〜(5.5.4)式のマクスウェルの方程式に従う電磁場は，自由空間においてどのような運動の形態を示すであろうか？はじめに(5.5.1)式の回転をとる．

$${\rm rot}\ {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t)... ...l \over{\partial t}}{\rm rot}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = 0.$$ (5.5.34)

ここで，(5.5.3)，(5.5.5)式および

$${\rm rot}\ {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t)... ...}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - \Delta \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$

であることを用いれば，

$$- \Delta \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) + {\partial \over{\partial t}}{\rm rot}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = 0,$$ (5.5.35)

となる．一方，(5.5.2)，(5.5.5)式より，

$${\rm rot}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - \epsilon \mu {\partial \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial t}} = 0,$$ (5.5.36)

である．(5.5.8)式を(5.5.7)式に代入すると，電場の満たす方程式が得られる．

$$\left ( \Delta - \epsilon \mu {\partial^{2} \over{\partial t^{2}}} \right ) \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = 0.$$ (5.5.37)

同様に(5.5.8)式の回転をとり，(5.5.4)式の条件を用いると，磁場の満たす方程式は，

$$\left ( \Delta - \epsilon \mu {\partial^{2} \over{\partial t^{2}}} \right ) \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = 0.$$ (5.5.38)

(5.5.9)，(5.5.10)式の解は，後で示されるように，自由空間内を伝播する波動を表すので，(5.5.9)，(5.5.10)式を波動方程式という．電場と磁場がそれぞれ(5.5.9)式と(5.5.10)式の波動方程式を満たすことに基づいて，マクスウェルにより電磁波の存在が予言され，その後，ヘルツにより発見された．

電磁場の満たすマクスウェルの方程式の解が，実際に自由空間を伝播する波動になっていることを示すため，電場と磁場とが$z$方向にのみ変化している場合を考えよう．

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = \left ( E_{x}(z, t),\ E_{y}(z, t),\ E_{z}(z, t) \right ),$$ (5.5.39)

$$\mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = \left ( B_{x}(z, t),\ B_{y}(z, t),\ B_{z}(z, t) \right ).$$

このようにすると，たとえば(5.5.1)式は，

$$\left ( {\partial E_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial y}... ...artial x}} -{\partial E_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial y}} \right )$$

$$+ \left ( {\partial B_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial ... ...tial t}},\ {\partial B_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial t}} \right )$$

$$= \left ( -{\partial E_{y}(z, t) \over{\partial z}},\ {\partial ... ...t) \over{\partial t}},\ {\partial B_{z}(z, t) \over{\partial t}} \right ) = 0.$$ (5.5.40)

同様に，(5.5.2)式を成分に分けて，(5.5.5)と(5.5.11)式を用いると，

$$\left ( -{\partial B_{y}(z, t) \over{\partial z}},\ {\partial B_... ...tial t}},\ \epsilon \mu {\partial E_{z}(z, t) \over{\partial t}} \right ) = 0.$$ (5.5.41)

(5.5.3)と(5.5.4)式とはそれぞれ，

$${\partial E_{z}(z, t) \over{\partial z}} = 0,\ \ \ \ \ {\partial B_{z}(z, t) \over{\partial z}} = 0.$$ (5.5.42)

(5.5.13)式の$z$成分と(5.5.14)式の第1式から，

$${\partial E_{z}(z, t) \over{\partial t}} = {\partial E_{z}(z, t) \over{\partial z}} = 0,$$ (5.5.43)

(5.5.12)式の$z$成分と(5.5.14)式の第2式から，

$${\partial B_{z}(z, t) \over{\partial t}} = {\partial B_{z}(z, t) \over{\partial z}} = 0.$$ (5.5.44)

(5.5.15)，(5.5.16)式から，電場の$z$成分と磁場の$z$成分は，時間$t$にもよらず，場所$z$にもよらない定数であることがわかる．このような場は，静電場あるいは静磁場であるから，いまの場合，その定数を0にとって差し支えがない．

$$E_{z}(z, t) = B_{z}(z, t) = 0.$$ (5.5.45)

このことは，電場と磁場とが$z$軸に沿う方向の成分をもたず，それらの方向が$z$軸に垂直な平面内にあることを示している．問題の取り扱いを簡単にするために，座標系の$x$軸を電場の方向に選ぼう．この座標系では，電場の$y$方向の成分は0になるから，

$$E_{y}(z, t) = 0,$$ (5.5.46)

とおくことができる．このとき，(5.5.12)式の$x$成分に関する方程式および(5.5.13)式の$y$成分に関する方程式は，それぞれ，

$${\partial B_{x}(z, t) \over{\partial t}} = 0,\ \ \ \ \ {\partial B_{x}(z, t) \over{\partial z}} = 0.$$ (5.5.47)

すなわち，磁場の$x$方向の成分は$z$にも$t$にもよらない定数である．この定数を0に選ぶと，

$$B_{x}(z, t) = 0.$$ (5.5.48)

こうして，磁場は$y$方向の成分のみをもつ．

さて残されている方程式は，(5.5.12)式の$y$方向に関する方程式と(5.5.13)式の$x$方向に関する方程式である．前者を$z$で微分し，これに後者を代入すると，

$$\left ( {\partial^{2} \over{\partial z^{2}}} - \epsilon \mu {\partial^{2} \over{\partial t^{2}}} \right ) E_{x}(z, t) = 0.$$ (5.5.49)

同様にして，

$$\left ( {\partial^{2} \over{\partial z^{2}}} - \epsilon \mu {\partial^{2} \over{\partial t^{2}}} \right ) B_{y}(z, t) = 0.$$ (5.5.50)

ここで

$$\epsilon \mu = {1 \over{v^{2}}},$$ (5.5.51)

とおくと，$v$は速さの次元をもつ．

(5.5.21)式の解は，任意の関数$f$と$g$を用いて次のように表される．

$$E_{x}(z, t) = f \left ( t - {z \over{v}} \right ) + g \left ( t + {z \over{v}} \right ).$$ (5.5.52)

実際，上式を(5.5.21)式に代入してみよう．

$${\partial E_{x}(z, t) \over{\partial z}} = {\partial \over{\partial z}} \left [ f \left ( t - {z \over{v}} \right ) + g \left ( t + {z \over{v}} \right ) \right ]$$

$$= - {1 \over{v}}{\partial f(t - z/v) \over{\partial t}} + {1 \over{v}}{\partial g(t + z/v) \over{\partial t}},$$

$${\partial^{2} E_{x}(z, t) \over{\partial z^{2}}} = {1 \over{v^{2}... ...er{\partial t^{2}}} + {\partial^{2} g(t + z/v) \over{\partial t^{2}}} \right ],$$

$${\partial^{2} E_{x}(z, t) \over{\partial t^{2}}} = {\partial^{2} ... ... z/v) \over{\partial t^{2}}} + {\partial^{2} g(t + z/v) \over{\partial t^{2}}},$$

となるから(5.5.21)式が成立する．

一方，電場が(5.5.24)式で与えられているとき，磁場$B$$_{y}$($z$, $t$)は，

$$B_{y}(z, t) = {1 \over{v}} f \left ( t - {z \over{v}} \right ) - {1 \over{v}} g \left ( t + {z \over{v}} \right ).$$ (5.5.53)

で表される．

(5.5.24)式の解の性質を調べよう．(5.5.24)式の右辺の第1項の$f$($t$ - $z$/$v$)は，時間$t$の経過とともに，その形を保ちながら，速さ$v$で$z$の正の方向に移動していく．また第2項の$g$($t$ + $z$/$v$)は，速さ$v$で$z$の負の方向に進む．すなわち，電場は波のかたまりとなって，速さ$v$で伝播していく．ここで，

$$f \left ( t - {z \over{v}} \right ) = E_{0} \sin \omega \left ( t... ...over{v}} \right ),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g \left ( t + {z \over{v}} \right ) = 0,$$ (5.5.54)

とおいてみる．(5.5.26)式のように選んだとき，(5.5.24)式の電場と(5.5.25)式の磁場は，それぞれ，

$$E_{x}(z, t) = E_{0} \sin \omega \left ( t - {z \over{v}} \right )... ...sin \omega \left ( t + {z \over{v}} \right ) \left ( t - {z \over{v}} \right ).$$ (5.5.55)

ここで，

$$\omega = 2 \pi \nu,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\omega \over{v}} = {2 \pi \over{\lambda}},$$ (5.5.56)

とおくと，(5.5.27)式は，

$$E_{x}(z, t) = E_{0} \sin 2 \pi \left ( \nu t - {z \over{\lambda}}... ..._{y}(z, t) = {E_{0} \over{v}} \sin 2 \pi \left ( \nu t - {z \over{v}} \right ).$$ (5.5.57)

これはよく知られた$z$の正の方向に進行する正弦波の波動関数である．(5.5.29)式の波動関数の形から，$\nu$はこの正弦波の振動数であり，$\lambda$はその波長であることがわかる．これらの間には，

$$\nu = {v \over{\lambda}},$$ (5.5.58)

の関係がある．ここで，

$$k = {2 \pi \over{\lambda}},$$ (5.5.59)

とおこう．これは距離2$\pi$ [m]のなかに含まれる波の数を表しており，波数と呼ばれる．角振動数$\omega$と波数$k$を用いると，(5.5.29)式は次のようになる．

$$E_{x}(z, t) = E_{0} \sin \left ( \omega t - kz \right ),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B_{y}(z, t) = {E_{0} \over{v}} \sin \left ( \omega t - kz \right ).$$ (5.5.60)

電磁波が真空中を伝わる速さ$c$は，

$$c = {1 \over{\sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}}} = 2.9979 \times 10^{8} [{\rm m/s}],$$ (5.5.61)

となり，この値は真空中における光の速さに一致している．電磁波はその進行方向に垂直な平面内にのみ，その成分を持つので，光と同様に横波である．このことから，マクスウェルは，光は電磁波の一種に他ならないと結論した．