1種類の原子からなる1次元格子

原子の質量 $= M$
$n$番目の原子の平衡点からの変位 $= u_{n}$
変位に対する復元力 $=$ 最隣接原子からのみ 調和振動子型：

$$U = {1 \over{2}}\sum_{n = 1}^{N}K(u_{n+1} - u_{n})^{2},$$ (2.1.1)

変位$u_{n}$の運動方程式：

$$M{{\rm d}^{2}u_{n} \over{{\rm d}t^{2}}} = -{\partial U \over{\par... ...{n})^{2} + {1 \over{2}}K(u_{n} - u_{n-1})^{2}] = K(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_{n}),$$ (2.1.2)

ここで，解が波であることを予想して

$$u_{n} = u_{0}{\rm e}^{{\rm i}(kna- \omega t)},$$ (2.1.3)

$$\omega^{2} = {{2K} \over{M}}(1 - \cos ka) = {{4K} \over{M}}\sin^{2}{ka \over{2}}$$ (2.1.4)

$k$のとり得る範囲は周期的境界条件より決定する．
系の長さ$L = Na$，変位 $u_{1} = u_{N+1}$

$$k = {2\pi p \over{Na}},\ \ \ p = 0, 1, 2, \cdots, N-1,$$ (2.1.5)

$$-{\pi \over{a}} \leq k \leq {\pi \over{a}},$$ (2.1.6)

長波長の格子振動→$k$で展開

$$\omega^{2} = {K \over{M}}k^{2}a^{2},$$ (2.1.7)

上で与えられる$k$に対し，調和振動子として格子振動を量子化して，$k$の格子振動のエネルギーを

$$\epsilon = \hbar\omega_{k}(n_{k} + {1 \over{2}}),$$ (2.1.8)

とおくとき，格子振動をフォノンとよぶ．