2種類の原子からなる1次元格子

2種類の原子の質量 $= M_{1}$（奇数），$M_{2}$（偶数） バネ定数と原子間距離 $=$ 交互に$K_{1}$，$K_{2}$，$a_{1}$，$a_{2}$ 格子定数 $a = a_{1} + a_{2}$

$$M_{1}{{\rm d}^{2}u_{2n-1} \over{{\rm d}t^{2}}} = K_{1}(u_{2n} - u_{2n-1}) + K_{2}(u_{2n-2} - u_{2n-1}),$$ (2.1.9)

$$M_{2}{{\rm d}^{2}u_{2n} \over{{\rm d}t^{2}}} = K_{1}(u_{2n-1} - u_{2n}) + K_{2}(u_{2n+1} - u_{2n})$$ (2.1.10)

ここで

$$u_{2n-1} = A_{1}{\rm exp}[{\rm i}[k(n - 1)a - \omega t],\ \ \ u_{2n} = A_{2}{\rm exp}[{\rm i}[k((n - 1)a + a_{1}) - \omega t],$$ (2.1.11)

を代入すると

$$-M_{1}\omega^{2}A_{1} = -(K_{1} + K_{2})A_{1} + (K_{1}{\rm e}^{{\rm i}ka_{1}} + K_{2}{\rm e}^{-{\rm i}ka_{2}})A_{2},$$ (2.1.12)

$$-M_{2}\omega^{2}A_{2} = (K_{1}{\rm e}^{-{\rm i}ka_{1}} + K_{2}{\rm e}^{{\rm i}ka_{2}})A_{1} - (K_{1} + K_{2})A_{2}$$ (2.1.13)

したがって

$$\omega^{2} = {1 \over{2}}[{M_{1} + M_{2} \over{M_{1}M_{2}}}(K_{1}... ...} + K_{2})^{2} - {16K_{1}K_{2} \over{M_{1}M_{2}}}\sin^{2}{ka \over{2}}]^{1/2}],$$ (2.1.14)

(2-8)式について，以下の2つの場合を考察してみよう．

1. $a_{1} = a_{2} = \frac{a}{2}$， $K_{1} = K_{2} = K$の場合
   
   

   $$\omega^{2} = ({1 \over{M_{1}}} + {1 \over{M_{2}}})K \pm K[({1 \ov... ...}} + {1 \over{M_{2}}})^{2} - {4 \over{M_{1}M_{2}}\sin^{2}{ka \over{2}}}]^{1/2},$$ (2.1.15)

   
   
   $k$が小さいときは(2-9)式を展開して
   

   $$\omega_{\rm o}^{2} = 2K({1 \over {M_{1}}} + {1 \over{M_{2}}}),\ \ \ \omega_{\rm a}^{2} = {K \over{2}}{1 \over{M_{1} + M_{2}}}k^{2}a^{2},$$ (2.1.16)

   
   
   $\omega_{\rm o}$→光学モード(optical mode)
   $k = 0$のとき， ${A_{2} \over{A_{1}}} = -{M_{1} \over{M_{2}}}$
   $\omega_{\rm a}$→音響モード(acoustic mode)；長波長での弾性波
   $k = 0$のとき， ${A_{2} \over{A_{1}}} = 1$
   
   

   表 2.1: 光学モード，音響モードの原子運動

   		○	●	○	●	○	●	○	●
   $k \approx 0$	ac	→	→	→	→	→	→	→	→
   	op	→	←	→	←	→	←	→	←
   $k \approx {\pi \over{a}}$	ac	→	→	←	←	→	→	←	←
   	op	→	←	←	→	→	←	←	→

   
   
2. $K_{1} \gg K_{2}$の場合；分子結合物質に対応するモデル
   (2-8)式を $\frac{K_{2}}{K_{1}}$で展開する．
   

   $$\omega_{\rm o}^{2} = ({1 \over{M_1}} + {1 \over{M_2}})(K_{1} + K_... ...,\ \ \ \omega_{\rm a}^{2} = {4K_{2} \over{M_{1} + M_{2}}}\sin^{2}{ka \over{2}},$$ (2.1.17)

   
   
   o→分子内振動から派生したもの． a→分子内では変位しない原子が弱いバネ定数$K_{2}$で結ばれているように振る舞う．