フォノンと光散乱

振動数 $\omega_{0} = 2\pi\nu_{0}$の光（フォトン）： エネルギー $\epsilon = \hbar\omega_{0}$，運動量 $p = \hbar k_{0}$ ( $k_{0} = \frac{2\pi}{\lambda_{0}}$)
結晶$=$連続体，屈折率$= n$ $\longrightarrow$ フォトン振動数 $\omega_{0} = ck_{0}/n$ $\longrightarrow$ 結晶中のフォノンとの相互作用
フォトンとフォノンの散乱におけるエネルギーと運動量の保存則

$$\hbar\omega_{0} \pm \hbar\omega_{k{\rm s}} = \hbar\omega_{1}, \hb... ...{\boldmath$k$}_{0} \pm \hbar\mbox{\boldmath$k$} = \hbar\mbox{\boldmath$k$}_{1},$$ (2.4.46)

1. 音響学的フォノンによる光散乱$=$ブリルアン散乱（結晶の音速測定）
   音速$v_{\rm s} \ll$光速$c$ $\longrightarrow$ $k \simeq k_{0}$ならば $\omega_{k} \ll \omega_{0}$ $(\omega_{k} = v_{\rm s}k$， $\omega_{0} = ck_{0}/n)$
   フォトンの散乱角を$\phi$とすれば，
   

   $$k = 2k_{0}\sin\frac{\phi}{2} = {2\omega_{0}n \over{c}}\sin\frac{\phi}{2},$$ (2.4.47)

   $$\omega_{k} = v_{\rm s}k = {2v_{\rm s}\omega_{0}n \over{c}}\sin\frac{\phi}{2},$$ (2.4.48)

   
   

   図 2.1: 古典的磁石と電子スピン磁石

   
   He$-$Neレーザー光（ $\lambda_{0} = 6328$Å）を用いた場合，$n = 1$， $\phi = 90^{\circ}$ $\longrightarrow$ $k = 1.4\times10^{5}{\rm cm}^{-1} = 1.4\times10^{-3}{\rm\AA}^{-1}$
   ブリルアン境界 $k_{\rm m} = \frac{\pi}{a}$に比べて非常に小さい．
   $v_{\rm s} = 10^{5}$ cm/s $\longrightarrow$ $\omega_{k} = v_{\rm s}k = 1.4\times10^{10}$ s$^{-1}$（ブリルアンシフト）
   フォトン振動数 $\omega_{0} = 2\pi c/\lambda_{0} = 3\times10^{15}$ s$^{-1}$に比べて非常に小さい．
2. 光学的フォノンによる光散乱$=$ラマン散乱
   フォトンが光学的フォノンを生成・吸収する場合
   入射光の電場 $E_{0} \longrightarrow$結晶中のイオン変位（$u$） $\longrightarrow$電気的双極子モーメント $P = \alpha E_{0}$の誘起（$\alpha =$分極率）
   

   $$\alpha = \alpha^{0} + \alpha'u,\ \ \ \alpha' = \left({\partial\alpha \over{\partial u}}\right)_{u = 0},$$ (2.4.49)

   $$P(t) = \alpha^{0}E_{0}{\rm e}^{{\rm i}\omega_{0}t} + \alpha'u_{0}E_{0}{\rm e}^{{\rm i}(\omega_{0} \pm \omega_{k{\rm s}})t},$$ (2.4.50)

   $$\omega_{k{\rm s}} \ll \omega_{0}\ \longrightarrow\ \omega_{1} \sim \omega_{0},\ k_{1} \sim k_{0}\ \longrightarrow\ k \sim 10^{-3}{\AA}^{-1},$$ (2.4.51)

   
   
   ブリルアン測定，ラマン散乱$= k \sim 0$近傍の分散関係