フォノンとX線散乱

原子間距離と同程度の波長をもつX線（フォトン）とフォノンの散乱 $\omega_{0} = \frac{2\pi c}{\lambda_{0}} \gg \omega_{k} \longrightarrow \hbar\omega_{0} = \hbar\omega_{1}$（弾性散乱）
逆格子点 $\mbox{\boldmath$K$}_{hkl}$におけるX線散乱強度

$$I(\mbox{\boldmath$K$}_{hkl}) = I_{\rm e}N^{2}\vert F(\mbox{\boldm... ...{j}f_{j}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$K$}_{hkl}\cdot\mbox{\boldmath$r$}_{j}},$$ (2.4.52)

X線とフォノンの散乱 $\longrightarrow$ $j$原子の位置ベクトル $\mbox{\boldmath$r$}_{j}$が単位格子によって少しずつ異なる．
$n$番目の単位格子によるX線散乱振幅（フォノンによる原子変位 $= \mbox{\boldmath$u$}_{nj}$）

$$F_{n}(\mbox{\boldmath$K$}) = \sum_{j}f_{j}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\... ...boldmath$r$}_{j}}(1 + {\rm i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$u$}_{nj}),$$ (2.4.53)

$$\mbox{\boldmath$K$} = \mbox{\boldmath$k$}_{1} - \mbox{\boldmath$k... ...dmath$k$}_{0}\vert = \vert\mbox{\boldmath$k$}_{1}\vert = {2\pi \over{\lambda}},$$ (2.4.54)

結晶全体のX線散乱振幅及び散乱強度：

$$F_{\rm c}(\mbox{\boldmath$K$}) = \sum_{n}F_{n}(\mbox{\boldmath$K$... ...math$u$}_{nj}){\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$R$}_{n}},$$ (2.4.55)

$$I(\mbox{\boldmath$K$}) = I_{\rm e}\langle F_{\rm c}(\mbox{\boldma... ...i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot(\mbox{\boldmath$R$}_{n} - \mbox{\boldmath$R$}_{n'})}$$

$$+ I_{\rm e}\sum_{nn'}\sum_{jj'}f_{j}f_{j'}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\... ...{\rm i}(\mbox{\boldmath$k$} + \mbox{\boldmath$K$})\cdot\mbox{\boldmath$R$}_{n}}$$

$$= N\delta(\mbox{\boldmath$k$} + \mbox{\boldmath$K$} - \mbox{\boldmath$K$}_{hkl}),$$ (2.4.56)

$${1 \over{2}}\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{2}\langle Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{*}\rangle = {1 \over{2}}k_{\rm B}T,$$ (2.4.57)

$$I(\mbox{\boldmath$K$}) = I_{\rm e}N^{2}\vert F(\mbox{\boldmath$K$}_{hkl})\vert^{2}$$

$$+ I_{\rm e}\sum_{nn'}\sum_{jj'}\sum_{\mbox{\boldmath$k$}s}f_{j}f_{j... ...cdot(\mbox{\boldmath$R$}_{n} - \mbox{\boldmath$R$}_{n'})}I(\mbox{\boldmath$K$})$$

$$= I_{\rm e}N^{2}\vert F(\mbox{\boldmath$K$}_{hkl})\vert^{2} + I_{\rm D}(\mbox{\boldmath$K$}),$$ (2.4.58)

$$I_{\rm D}(\mbox{\boldmath$K$}) = I_{\rm e}Nk_{\rm B}T\sum_{s}{\ve... ...th$k$}s}(\mbox{\boldmath$K$})\vert^2 \over{\omega_{\mbox{\boldmath$K$}s}^{2}}},$$ (2.4.59)

$$\mbox{\boldmath$K$} = \mbox{\boldmath$K$}_{hkl} \pm \mbox{\boldmath$k$},$$ (2.4.60)

$$F_{\mbox{\boldmath$k$}s}(\mbox{\boldmath$K$}) = \sum_{j}{\mbox{\b... ...t{m_{j}}}}f_{j}{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\boldmath$K$}\cdot\mbox{\boldmath$r$}_{j}}$$ (2.4.61)

$\pm\mbox{\boldmath$k$}$：1つのフォノンの吸収・放出 $\longrightarrow$散漫散乱
散漫散乱強度：$\omega_{ks}$の2乗に逆比例 $\longrightarrow$低振動数フォノンの分散関係の決定

図 2.2: 古典的磁石と電子スピン磁石

低温でのX線散漫散乱強度

$$\langle Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}Q_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{*}\rang... ...le\hbar\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s} \over{\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s}^{2}}},$$ (2.4.62)

$$\langle n_{\mbox{\boldmath$k$}s}\rangle = {1 \over{{\rm e}^{\hbar\omega_{\mbox{\boldmath$k$}s}/k_{\rm B}T} - 1}},$$ (2.4.63)

図 2.3: 古典的磁石と電子スピン磁石