ブロッホの定理

格子定数a，結晶の長さNaの1次元系を考える．

$$U(\mbox{\boldmath$x$}) = U(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$}),$$ (3.3.22)

このポテンシャル中でのシュレーディンガー方程式を解く．

$$\psi(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$}) = C\psi(\mbox{\boldmath$x$}),$$ (3.3.23)

すべての格子点は同等→どの格子点でも電子の発見確率は等しい

$$\vert\psi(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$})\vert^{2} = \vert\psi(\mbox{\boldmath$x$})\vert^{2},$$ (3.3.24)

すなわち， $\psi(\mbox{\boldmath$x$})$と $\psi(\mbox{\boldmath$x$} + \mbox{\boldmath$a$})$は同一であるか，異なっていても位相因子 ${\rm e}^{{\rm i}\theta}$ だけでなければならない．周期的境界条件より，

$$\psi(\mbox{\boldmath$x$} + N\mbox{\boldmath$a$}) = \psi(\mbox{\boldmath$x$}) = C^{N}\psi(\mbox{\boldmath$x$}),$$ (3.3.25)

$$C = {\rm exp}(\frac{{\rm i}2\pi n}{N})\ \ \ (n = 0, 1, \cdots, N-1)$$ (3.3.26)

したがって次の関数（ブロッホ関数）を用いればよい．

$$\psi_{k}(x) = u_{k}(x){\rm e}^{{\rm i}kx},\ \ \ u_{k}(x) = u_{k}(x + a),\ \ \ k = {2n\pi \over{Na}},$$ (3.3.27)

$$\psi_{k}(x + a) = {\rm e}^{{\rm i}ka}\psi_{k}(x)$$ (3.3.28)

格子定数$a$だけずれるごとに位相が$ka$だけずれる．

3次元の場合も同様である．

$$U(\mbox{\boldmath$r$}) = U(\mbox{\boldmath$r$} + \mbox{\boldmath$a$}),$$ (3.3.29)

$$\mbox{\boldmath$a$} = (a_{1}, 0, 0),\ \ \ (0, a_{2}, 0),\ \ \ (0, 0, a_{3})$$ (3.3.30)

$$\psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$} + \mbox{\boldmath$... ...th$k$}\cdot\mbox{\boldmath$T$}}\psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}),$$ (3.3.31)

$$\psi_{\mbox{\boldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}) = u_{\mbox{\boldm... ...ldmath$k$}}(\mbox{\boldmath$r$}) = (\mbox{\boldmath$r$} + \mbox{\boldmath$a$}),$$ (3.3.32)

$$\mbox{\boldmath$k$} = \left({2n_{1}\pi \over{N_{1}a_{1}}}, {2n_{2}\pi \over{N_{2}a_{2}}}, {2n_{3}\pi \over{N_{3}a_{3}}}\right),$$ (3.3.33)

ブロッホの条件式