格子振動による散乱

実際の導体の電気抵抗は温度とともに変化するが，この温度変化をする部分は伝導電子が格子振動（フォノン）によって散乱されることからおこる電気抵抗である．フォノンには振動の偏光方向や，音響型と光学型のタイプで区別される各モードにおいて振動数の分散があり，フォノンによる伝導電子の散乱は非弾性散乱である．

伝導電子に対するポテンシャル $U(\mbox{\bfseries\itshape {r}})$は結晶が完全に周期的に並んだときのものであり，それは

$$U(\mbox{\bfseries\itshape {r}}) = \sum_{n}U(\mbox{\bfseries\itshape {r}} - \mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n}),$$

と書けるものとする． $U(\mbox{\bfseries\itshape {r}} - \mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n})$は$n$番目の原子からのポテンシャルである．格子点 $\mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n}$の原子が格子振動によって $\mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n} + \mbox{\bfseries\itshape {r}}_{n}$へ動いたとすると，そのための $U(\mbox{\bfseries\itshape {r}})$の変化は

$$\Delta U(\mbox{\bfseries\itshape {r}}) = \sum_{n}\left[U(\mbox{\b... ...}) - U(\mbox{\bfseries\itshape {r}} - \mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n})\right],$$

で与えられる．この$\Delta U$が散乱ポテンシャル$V$に相当する．いま伝導電子の波動関数を自由電子の関数に近似できるとすると

$$(\Delta U)_{\mbox{\bfseries\itshape {k}}'\mbox{\bfseries\itshape {k}}} = \sum_{n}\int{\rm d}\mbox{\bfseries\itshape {r}}{\rm e}^{-{\rm i}\... ...]{\rm e}^{{\rm i}\mbox{\bfseries\itshape {k}}\cdot\mbox{\bfseries\itshape {r}}}$$

$$= \sum_{n}\left[{\rm e}^{{\rm i}(\mbox{\bfseries\itshape {k}} - \mb... ...} - \mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n} - \mbox{\bfseries\itshape {r}}_{n})\right]$$

$$- \sum_{n}\left[{\rm e}^{{\rm i}(\mbox{\bfseries\itshape {k}} - \mb... ...{n})}U(\mbox{\bfseries\itshape {r}} - \mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n})\right].$$ (5.5.35)

ここで

$$U_{\rm c}(\mbox{\bfseries\itshape {k}}) = N\int{\rm d}\mbox{\bfse... ...e {R}}_{n})}U(\mbox{\bfseries\itshape {r}} - \mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n}),$$ (5.5.36)

の記号を導入し， $\mbox{\bfseries\itshape {r}}_{n}$をフォノンのモードで展開して

$$\mbox{\bfseries\itshape {r}}_{n} = \sum_{\alpha,\ \mbox{\bfseries... ... e}^{{\rm i}\mbox{\bfseries\itshape {p}}\cdot\mbox{\bfseries\itshape {R}}_{n}},$$

と表す．$\alpha$はモードを指定する添字である． $\mbox{\bfseries\itshape {r}}_{n}$は実の量であるから $\mbox{\bfseries\itshape {u}}_{\alpha, -\mbox{\bfseries\itshape {p}}} = \mbox{\bfseries\itshape {u}}_{\alpha, \mbox{\bfseries\itshape {p}}}^{*}$の関係が成り立つ．さらに $\mbox{\bfseries\itshape {K}}$を任意の逆格子ベクトルとして

$${1 \over{N}}\sum_{n}{\rm e}^{{\rm i}(\mbox{\bfseries\itshape {k}}... ...itshape {k}}' \pm \mbox{\bfseries\itshape {p}} + \mbox{\bfseries\itshape {K}}),$$ (5.5.37)

を用いると，(5.5.1)式は散乱ベクトル $\mbox{\bfseries\itshape {q}} = \mbox{\bfseries\itshape {k}}' - \mbox{\bfseries\itshape {k}}$を使い，

$$(\Delta U)_{\mbox{\bfseries\itshape {k}}'\mbox{\bfseries\itshape ... ...es\itshape {p}} - \mbox{\bfseries\itshape {q}} + \mbox{\bfseries\itshape {K}}).$$ (5.5.38)

(5.5.4)式を(5.3.2)式に代入すれば，フォノンの散乱による $\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\rm scatt}$への寄与が求まる．このときフォノンのモード $\mbox{\bfseries\itshape {u}}_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {p}}}$の1次までの近似では，散乱過程でフォノンが吸収されるものと放出されるものがあり，(5.3.2)式におけるエネルギー保存則から

$$\Delta\epsilon_{\mbox{\bfseries\itshape {k}}'\mbox{\bfseries\itshape {k}}} = \pm\hbar\omega_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {p}}},$$

とおいて，

$$\epsilon_{\mbox{\bfseries\itshape {k}}'} = \epsilon_{\mbox{\bfseries\itshape {k}}} \pm \hbar\omega_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {p}}},$$

を満たすところが拾い出されるようになる． $\hbar\omega_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {p}}}$は波動ベクトル $\mbox{\bfseries\itshape {p}}$をもつフォノンのエネルギーである．

(5.5.4)式で $\mbox{\bfseries\itshape {K}} = 0$の散乱過程を正常過程と呼び， $\mbox{\bfseries\itshape {K}} \ne 0$のものをウムクラップ過程と呼ぶ．ウムクラップ過程では， $\mbox{\bfseries\itshape {k}}$の状態にある電子がフォノンとの散乱で $\hbar\mbox{\bfseries\itshape {p}}$の運動量だけでなく，結晶から $\hbar\mbox{\bfseries\itshape {K}}$の運動量をもらったり，与えたりする過程である．

ここでは正常過程だけを考える．すなわち(5.3.2)式の$\delta$関数におけるフォノンのエネルギー $\hbar\omega_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {p}}}$を無視し，(5.5.4)式における $\mbox{\bfseries\itshape {K}}$はゼロとおく．このときには(5.3.5)式を用いることができて，

$$\frac{1}{\tau_{\rm p}} = \frac{m^{2}v_{\rm F}}{2\pi\hbar^{4}}\int... ...ies\itshape {u}}_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {p}}}\vert^{2}(1 - \cos\theta).$$ (5.5.39)

ここで $U_{\rm c}(\mbox{\bfseries\itshape {q}})$は近似的に$\theta$にあまり依存しないとして $\overline{U_{\rm c}}$とおき，積分の外へ出せるとする．またフォノンの3つのモードを区別しない近似では

$$\vert\mbox{\bfseries\itshape {q}}\cdot\mbox{\bfseries\itshape {u}... ...}^{2}\vert\mbox{\bfseries\itshape {u}}_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}\vert^{2},$$

と書ける． $\mbox{\bfseries\itshape {q}}$で指定されたフォノンのエネルギーは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であるが，ビリアル定理により両者の統計的な平均値は等しいから，状態 $\mbox{\bfseries\itshape {q}}$のエネルギーの平均値は

$$\langle E_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}\rangle \simeq 3M\langle\... ...ert\mbox{\bfseries\itshape {u}}_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}\vert^{2}\rangle.$$ (5.5.40)

一方，フォノンはボーズ統計に従うので，分布関数

$$n_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}} = \left[{\rm exp}\left(\frac{\hbar\omega_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}}{k_{\rm B}T}\right) - 1\right]^{-1},$$

を使って，上のエネルギーは

$$\langle E_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}\rangle \simeq 3\hbar\ome... ...ries\itshape {q}}}\left( n_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}} + \frac{1}{2}\right),$$ (5.5.41)

と表すこともできる．ここで$\frac{1}{2}$の項はゼロ点エネルギーを表す項であり，これは電気抵抗に寄与しないので以下では無視する．(5.5.6)と(5.5.7)式から

$$\vert\mbox{\bfseries\itshape {q}}\cdot\mbox{\bfseries\itshape {u}}_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {q}}}\vert^{2} \simeq \frac{1}{3}\mbox{\bfseries\itshape {q}}^{2}\vert\mbox{\bfseries\i... ...q^{2}}{3M\omega_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}}n_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}$$

$$= \frac{k_{\rm B}Tq^{2}}{3M\omega_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}} \... ...left(\frac{\hbar\omega_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}}{k_{\rm B}T}\right) - 1},$$ (5.5.42)

が得られる．これを(5.5.5)式に代入して

$$\frac{1}{\tau_{\rm p}} = \frac{m^{2}v_{\rm F}}{2\pi\hbar^{4}}\int\sin\theta{\rm d}\theta\v... ...ries\itshape {u}}_{\alpha\mbox{\bfseries\itshape {p}}}\vert^{2}(1 - \cos\theta)$$

$$= \frac{1}{2\pi\hbar}\frac{m^{2}v_{\rm F}}{3\hbar^{3}}\frac{k_{\rm ... ...left(\frac{\hbar\omega_{\mbox{\bfseries\itshape {q}}}}{k_{\rm B}T}\right) - 1}.$$ (5.5.43)

いまの弾性散乱の扱いでは，フォノンの波動ベクトル $\mbox{\bfseries\itshape {q}}$に対しては

$$q = 2k_{\rm F}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right),$$

が成り立つ．さらにフォノンに対してはデバイ模型を仮定して

$$\omega_{q} = sq,\ \ \ \ \ k_{\rm B}\theta_{\rm D} = \hbar sq_{\rm D},$$

の関係式を用いると

$$\frac{1}{\tau_{\rm p}} = \frac{1}{2\pi\hbar}\frac{m^{2}v_{\rm F}}{3\hbar^{3}}\frac{k_{\rm ... ...m D}}{k_{\rm F}\theta_{\rm D}}{\rm d}x\frac{1}{s^{2}}x\frac{1}{{\rm e}^{x} - 1}$$

$$= \frac{1}{2\pi\hbar}\frac{m^{2}v_{\rm F}}{3\hbar^{3}}\frac{k_{\rm ... ...D}}\right)^{4}\int_{0}^{\theta_{\rm D}/T}{\rm d}x\frac{x^{4}}{{\rm e}^{x} - 1},$$ (5.5.44)

となる．この式から， $T > \theta_{\rm D}$では，0から$q_{\rm D}$の範囲のすべてのフォノンが熱的に励起されて積分に寄与するが，そのときの積分の上限 $\theta_{\rm D}/T$は1に比べて小さいので，積分の中を$x$で展開することが許される．その結果，

$$\int_{0}^{\theta_{\rm D}/T}{\rm d}x\frac{x^{4}}{{\rm e}^{x} - 1} ... ...{\rm D}/T}x^{3}{\rm d}x = \frac{1}{4}\left(\frac{\theta_{\rm D}}{T}\right)^{4},$$

となり，

$$\frac{1}{\tau_{\rm p}} \propto T;\ \ \ T > \theta_{\rm D}$$ (5.5.45)

になることがわかる．一方 $T \ll \theta_{\rm D}$であれば，積分の上限を$\infty$で近似してよく，積分は$T$に依らない値に近づくので，

$$\frac{1}{\tau_{\rm p}} \propto T^{5};\ \ \ T \ll \theta_{\rm D}$$ (5.5.46)

になる．

以上はフォノンによる散乱を弾性散乱として扱った結果であるが，非弾性散乱の過程を正しく扱うと

$$\rho_{\rm p} \propto T^{5}\int_{0}^{\theta_{\rm D}/T}{\rm d}x\frac{x^{5}}{\left({\rm e}^{x} - 1\right)\left(1 - {\rm e}^{-x}\right)},$$ (5.5.47)

という形の式が得られる．