超伝導体の熱力学

超伝導体の状態は温度$T$と外からかけた磁場$H$によって完全に決まるから，超伝導体の熱力学を作ることができる．まず，超伝導状態と常伝導状態の自由エネルギーを，温度$T$と磁場$H$との関数として，それぞれ $G_{\rm s}(T, H)$， $G_{\rm n}(T, H)$とおく．$H = 0$で$T < T_{\rm c}$では超伝導状態が実現しているから，$G_{\rm s}$の方が$G_{\rm n}$より小さい．磁場$H$がかかると，超伝導状態では内部で磁場をゼロにするように表面に電流が流れ，そのための運動エネルギーが増加する．内部での磁場がゼロになるように電流が流れていることから，そのエネルギーを計算すると

$$G_{\rm s}(T, H) - G_{\rm s}(T, 0) = -\int_{0}^{H}M{\rm d}H = \int_{0}^{H}\frac{H}{4\pi}{\rm d}H = \frac{H^{2}}{8\pi},$$ (7.3.2)

となる．一方常伝導状態では，磁場がかかっても何も変化しないので

$$G_{\rm n}(T, H) = G_{\rm n}(T, 0),$$ (7.3.3)

である．臨界磁場$H_{\rm c}$では，二つの相は釣り合うから，二つの自由エネルギーは等しくなければならない．すなわち

$$G_{\rm s}(T, 0) = G_{\rm n}(T, 0) - \frac{H_{\rm c}^{2}}{8\pi}.$$ (7.3.4)

これから二つの相のエントロピーを求めると，

$$S_{\rm n} = -\frac{\partial G_{\rm s}}{\partial T} = -\frac{\part... ...\rm d}T} = S_{\rm n} + \frac{H_{\rm c}}{4\pi}\frac{{\rm d}H_{\rm c}}{{\rm d}T},$$ (7.3.5)

となる． $\frac{{\rm d}H_{\rm c}}{{\rm d}T} < 0$であるから， $S_{\rm s} < S_{\rm n}$となる．エントロピーは，その系の無秩序の度合いを表しているから，超伝導状態の方が秩序だっており，何らかの意味での規則性が存在していることになる．

(7.3.4)式より磁場$H_{\rm c}$のときの超伝導から常伝導への転移では， $T(S_{\rm n}-S_{\rm s})$の熱量を発生することになり，潜熱を伴う1次の相転移であることがわかる．

$$T(S_{\rm n}-S_{\rm s}) = \frac{TH_{\rm c}}{4\pi}\frac{{\rm d}H_{\rm c}}{{\rm d}T}.$$ (7.3.6)

$H_{\rm c} = 0$すなわち$T = T_{\rm c}$では，上式はゼロになり潜熱はない．

比熱は

$$\Delta C = C_{\rm s} - C_{\rm n} = T\frac{\partial S}{\partial T}... ... c}}{{\rm d}T^{2}} + \left(\frac{{\rm d}H_{\rm c}}{{\rm d}T}\right)^{2}\right],$$

となり，$T_{\rm c}$では$H_{\rm c} = 0$とおいて

$$\Delta C(T_{\rm c}) = \frac{T_{\rm c}}{4\pi}\left(\frac{{\rm d}H_{\rm c}}{{\rm d}T}\right)^{2},$$ (7.3.7)

となる．こうして$H = 0$での超伝導と常伝導の相転移は潜熱はなく，比熱が不連続になる2次の相転移であることがわかった．