完全反磁性の現象論

超伝導体を記述するのに，電子密度が$n$の伝導電子の中，$n_{\rm s}$が超伝導に関係し， $(n - n_{\rm s}$が常伝導状態にあるというモデルを用いる．これは歴史的には2流体モデルとよばれている．超伝導電子は電場を加えると減衰なしに加速されるので，その電子の速度を $\mbox{\bfseries\itshape {v}}_{\rm s}$で表すと

$$m\frac{{\rm d}\mbox{\bfseries\itshape {v}}_{\rm s}}{{\rm d}t} = -e\mbox{\bfseries\itshape {E}},$$ (7.4.8)

となる．この式に$-en_{\rm s}$を乗じた式

$$-en_{\rm s}\frac{{\rm d}\mbox{\bfseries\itshape {v}}_{\rm s}}{{\r... ...itshape {J}}}{{\rm d}t} = \frac{n_{\rm s}e^{2}}{m}\mbox{\bfseries\itshape {E}},$$ (7.4.9)

および2つのマクスウェルの方程式

$${\rm rot}\mbox{\bfseries\itshape {E}} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mbox{\bfseries\itshape {H}}}{\partial t},$$ (7.4.10)

$${\rm rot}\mbox{\bfseries\itshape {H}} = \frac{4\pi}{c}\mbox{\bfseries\itshape {J}},$$ (7.4.11)

を考える．(7.4.2)，(7.4.3)式から

$$\frac{\partial}{\partial t}\left({\rm rot}\mbox{\bfseries\itshape {J}} + \frac{n_{\rm s}e^{2}}{mc}\mbox{\bfseries\itshape {H}}\right) = 0,$$ (7.4.12)

を得る．一方(7.4.4)式で，静磁場を与えた時には時間に依存しない $\mbox{\bfseries\itshape {J}}$が得られるが，それは常に(7.4.5)式を充たしており，完全反磁性を記述していない．そこで(7.4.5)式に対して

$${\rm rot}\mbox{\bfseries\itshape {J}} + \frac{n_{\rm s}e^{2}}{mc}\mbox{\bfseries\itshape {H}} = 0,$$

$$\mbox{\bfseries\itshape {H}} = -\frac{mc}{n_{\rm s}e^{2}}{\rm rot... ...rot}\mbox{\bfseries\itshape {J}};\ \ \ \Lambda \equiv \frac{m}{n_{\rm s}e^{2}},$$ (7.4.13)

を要求する．この式に(7.4.4)式を代入して $\mbox{\bfseries\itshape {J}}$を消去すると

$$\mbox{\bfseries\itshape {H}} + \frac{c^{2}\Lambda}{4\pi}{\rm rot\ rot}\mbox{\bfseries\itshape {H}} = 0,$$ (7.4.14)

となる． ${\rm rot\ rot}\mbox{\bfseries\itshape {H}}$は

$$\left({\rm rot\ rot}\mbox{\bfseries\itshape {H}}\right)_{x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial H_{y}}{\partial x... ...ft(\frac{\partial H_{x}}{\partial z} - \frac{\partial H_{z}}{\partial x}\right)$$

$$= \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial H_{x}}{\partial x... ...\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)H_{x}$$

$$= - \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)H_{x}$$

となる．

いま半無限に広がった超伝導体を考え，その表面を$xy$平面にとり，外からの磁場は表面に平行とし，その方向を$x$にとる．磁場 $\mbox{\bfseries\itshape {H}}$は表面に垂直な$z$方向だけで変化するから，(7.4.7)式の$x$成分をとって（ $\mbox{\bfseries\itshape {H}}\parallel x,\ H_{x} = H$）

$$H - \frac{c^{2}\Lambda}{4\pi}\frac{\partial^{2}H}{\partial z^{2}} = 0,$$ (7.4.15)

となり，これの $z \longrightarrow \infty$で無限大にならない解は

$$H(z) = H(0){\rm e}^{-z/\lambda_{\rm L}},\ \ \ \lambda_{\rm L} = c\sqrt{\frac{\Lambda}{4\pi}} = \sqrt{\frac{mc^{2}}{4\pi n_{\rm s}e^{2}}},$$ (7.4.16)

となる．$z$が $\lambda_{\rm L}$に比べてはるかに大きいときは，$H(z)$は非常に小さくなる．すなわち，外からの磁場は超伝導体の表面から $\lambda_{\rm L}$程度の深さにだけ入りこみ，それ以上の深さでは実際上ゼロになる．これが完全反磁性である．(7.4.9)式の $\lambda_{\rm L}$をロンドンの侵入長とよび，(7.4.6)式をロンドン方程式とよぶ．

ロンドンの考え方は簡単で，実際の超伝導体には合わない点が多い．たとえば不純物の量が多くて，電子の平均自由行路が短い試料では，磁場の侵入長は不純物の量によって変化するが，ロンドンの理論ではこのようなことは説明できない．これを打開するために，ピパード（A. B. Pippard）はコヒーレンス長という考えを提唱した．

コヒーレンス長$\xi$というのは，超伝導体の中で電子が記憶を保って走る距離のようなもので，ある点の電子はその点のまわりの距離$\xi$のことを感じているといってもよい．したがって，ある点の電流 $\mbox{\bfseries\itshape {J}}$も，その点のまわりの距離$\xi$の範囲の磁場の影響を受けるはずである．

これに対してロンドン方程式では，同じ点の磁場だけで電流が決まってしまう．磁場が$\xi$程度の距離では大きく変化していなければ，ある点のまわりの距離$\xi$の範囲の磁場は一定とみなすことができロンドン方程式は正しいが，そうでないときは正しくない．磁場が変化する長さは大体 $\lambda_{\rm L}$と考えてよいから，ロンドン方程式は $\lambda_{\rm L} \gg \xi$のときは正しいが，その逆の極限， $\lambda_{\rm L} \ll \xi$のときは正しくないと考えられる．ピパードはこれらのことを考慮に入れて，

$$\mbox{\bfseries\itshape {J}}(\mbox{\bfseries\itshape {r}}) = -\fr... ... {r}}')\cdot\mbox{\bfseries\itshape {A}}(\mbox{\bfseries\itshape {r}}')\right],$$ (7.4.17)

$$\frac{1}{\overline{\xi}} = \frac{1}{\xi} + \frac{1}{\alpha l},$$ (7.4.18)

という方程式を提唱した．$l$は常伝導状態での電子の平均自由行路である．$\xi$は次に述べるように$10^{4}$ [Å]程度の大きさで，$\alpha$は0.8位にとるのがよい．

こうして超伝導体には特徴的な長さが二つあることになる．一つはロンドンの侵入長 $\lambda_{\rm L}$であり，もう一つはコヒーレンス長$\xi$である．$\xi$の大きさを評価してみよう．

まず純粋の試料について考える．超伝導体の励起エネルギーには$\Delta$というギャップが存在する．このことは運動量空間における電子の分布がエネルギーにして$\Delta$の程度の幅で乱れていることを意味する．電子はフェルミエネルギー $\epsilon_{\rm F}$まで詰まっているから，それに相当する運動量を$p_{\rm F}$と書くと，$\Delta$というエネルギーの乱れは，運動量にすると $\delta p \approx p_{\rm F}\frac{\Delta}{\epsilon_{\rm F}}$程度の乱れになる．ハイゼンベルグの不確定性原理によると，運動量で$\delta p$という乱れがあることは，普通の空間では $\delta x \approx \hbar/\delta p$という不確定性があることになり，電子はこの程度の長さの範囲に広がっていると考えられる．したがって，この$\delta x$が純粋な超伝導体のコヒーレンス長$\xi_{0}$を与えることになる．さらに有効質量$m^{*}$，フェルミ面上での電子の速さ$v_{\rm F}$を用いて $\epsilon_{\rm F} = \frac{p_{\rm F}^{2}}{2m^{*}}$， $p_{\rm F} \approx m^{*}v_{\rm F}$と書くと，

$$\xi_{0} \approx \delta x \approx \frac{\hbar}{\delta p} \approx \frac{\hbar v_{\rm F}}{\Delta},$$ (7.4.19)

となる．

不純物を含んだ試料では，電子は不純物に散乱されて記憶を失う．したがってコヒーレンス長は純粋な試料の値より短くなる．不純物による散乱の目安は，平均自由行路$l$で与えられるが，不純物量が多くなり，$l \ll \xi_{0}$になると，$\xi$は$l$と同じ程度になるだろう．

AlやSnのような普通の金属では，有効質量$m^{*}$は自由電子の質量に近く， $n_{\rm s} \approx n$とすると， $\lambda_{\rm L}$は500 [Å]の程度になる．これに対してフェルミ面における電子の速さは$10^{8}$ [cm/s]程度であり，$\xi_{0}$は$10^{4}$ [Å]に達する．したがって， $\lambda_{\rm L} \ll \xi_{0}$でロンドン方程式は使えない．これに対して遷移金属やその化合物では$m^{*}$は大きく，したがって $\lambda_{\rm L}$も大きくなり$10^{3}$ [Å]程度になる．$v_{\rm F}$は$10^{6}$ [cm/s]，$T_{\rm c}$は$10^{1}$ [K]のため$\Delta$も大きく，$\xi_{0}$は非常に小さくなる．すなわち $\lambda_{\rm L} \gg \xi_{0}$で，ロンドン方程式がよくあてはまる． $\lambda_{\rm L} \ll \xi_{0}$を第1種超伝導体， $\lambda_{\rm L} \gg \xi_{0}$を第2種超伝導体とよぶ．