励起状態とエネルギーギャップ

励起状態を作るには，電子は $\mbox{\boldmath$k$}\uparrow$に入るが $-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow$は空いており，もう一方の電子は $-\mbox{\boldmath$k$}'\downarrow$（$k$ $\ne$ $\mbox{\boldmath$k$}'$）にいるという状態を考えればよい．この波動関数 $\Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'}$は，

$$\Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'} = c_{\mbox{\boldma... ...row}^{\dag }c_{-\mbox{\boldmath$l$}\downarrow}^{\dag }) \vert \Psi_{0} \rangle,$$ (7.11.103)

と書ける．この状態でのエネルギーを求めてみよう．

$$W_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'} = \langle \Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'} \vert H \vert \Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'} \rangle$$ (7.11.104)

$$= W_{\rm G} + \epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}(1 - 2v_{\mbox{\boldmat... ... V \sum_{\mbox{\boldmath$l$}}\,' u_{\mbox{\boldmath$l$}}v_{\mbox{\boldmath$l$}}$$

$$= W_{\rm G} + E_{\mbox{\boldmath$k$}} + E_{\mbox{\boldmath$k$}'},$$ (7.11.105)

$$E_{\mbox{\boldmath$k$}} = \sqrt{\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2} + \Delta_{0}^{2}},$$ (7.11.106)

を得る．これは，運動量$k$の電子を励起するのに(7.11.26)式で与えられる $E_{\mbox{\boldmath$k$}}$の励起エネルギーが必要であることを示している． $E_{\mbox{\boldmath$k$}}$は常に$\Delta_{0}$より大きいので，この$\Delta_{0}$をエネルギーギャップと呼ぶ．