物理学BII

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参考書	「電磁気学II」 １１.電流と磁場（続） (２５-３９ページ) 「物理学の基礎[3]」 ３０ 電流がつくる磁場 （１６５-１７５ページ）

１２-１ 円電流の軸上の磁束密度

円電流

1. 中心O、半径aの円周を流れる電流
2. 各点で、電流の強さは同じ大きさ i
3. 電流素片 i ds
   ¶ 大きさは等しいが、向きが違う！

磁束密度

1. 中心軸上の点Pでの磁束密度 B
2. Bは中心軸方向成分のみで、他はゼロ
   ¶ 対称性からの帰結
3. 点Mにある電流素片i dsが点Pに作る磁束密度
   • 大きさ
     
   • 方向
     i dsを軸にした円の接線方向（右ねじ）
   ¶ ビオ-サヴァールの法則
4. 中心軸方向成分だけを一周積分
   
   ¶ OP=dおよびtanα=a/dとする
5. N回巻きコイルの場合
   
   ¶ N周積分

OHP-1 OHP-2 OHP-3

１２-２ ソレノイドの軸上の磁束密度

ソレノイドコイル

1. 半径aの無限に長い円筒状
2. コイルを規則的な間隔で巻いたもの
3. 単位長さあたりの巻き数 n
4. 中心軸上にx-軸をとる（座標原点P）
5. 磁束密度はx成分のみで、その他はゼロ
   ¶ 対称性の考察

磁束密度

1. 座標x〜x+dxの中心軸に垂直な厚さdxの円盤
2. 円盤側面を流れる円電流の数 n dx
3. P点での磁束密度（x成分）への寄与
   
   ¶ 円形電流の計算を応用
4. 点Pでの磁束密度（x成分）
   
   ¶ xについて、区間（-∞, +∞）の積分
5. 磁場の強さ
   

OHP-4 OHP-5

１２-３ 素回路

素回路

1. コイルの作る平面を細かい網の目に分割
2. それぞれの網の目には電流 i の環状電流
3. 内部の電流は互いに打ち消し合う
4. 素回路 -電流 i の網の目-
5. 磁束密度 -素回路の作る磁束密度の重ね合わせ-
   ¶ 重ね合わせの原理

OHP-6

素回路の作る磁束密度

1. 素回路：台形の場合
   ¶ 形が変っても結果は同じ！
2. 極座標表示（r, θ, φ)
   ¶ 素回路の中心が原点、中心軸が鉛直方向（θ=0）
3. dB=(dB_r , dB_θ , dB_φ)
   
   ¶ φ-依存性はない！

OHP-7

素回路の磁気モーメント

1. 磁気モーメント dm
   • 大きさ i d S
   • 方向 n（面の法線ベクトル；電流 i と右ねじの関係）
2. 磁気モーメントの作る磁場
   
   ¶ 電気双極子モーメントとの類似

OHP-8

１２-４ 磁位

磁位

1. 電流の存在しない場所
   ¶ 磁場は保存場となる
2. 磁位 Φ_m
   B=-grad Φ_m
3. 磁気モーメントの場合
   -磁束密度Bと磁位 dV_m-
   
   -磁気モーメントの磁位-
   

OHP-9

宿題

円電流の作る磁場

xy平面上に、原点Oを中心とする半径aの円電流iがある。中心軸 上に点P(0,0,z)をとる。また、点Pの近傍に点Q(ρ,0,z)をとる。ただし、 ρ《1とする。

1. 点PにおけるベクトルポテンシャルAがゼロベクトルと なることを示せ。
   ヒント：電流素片idsからの距離r= (a²+z²)^1/2で、一定。また、dsの周回積分はゼロ。
2. 点QにおけるベクトルポテンシャルAを求めよ。
   ヒント： 方位角θ〜θ+dθにある電流素片 ids=( -iadθsinθ, iadθcosθ, 0)が点Q（ρ, 0, z）に作るベクトルポテンシャルdA_θは(μ₀/4π)(ids/r)=(μ₀/4π)(ids/((a cosθ-ρ)²+a²sin²θ+z²)^1/2)〜(μ₀/4π)(ids/(a²+z²)^1/2)(1+(aρ/(a²+z²))cosθ)。これを、θについて、0から2πまで積分。ここで、cos²θの積分以外はすべてゼロ。cos²θの積分はπ。
3. ローテーション演算子を使って点Qにおける磁束密度を計算せよ。
   ヒント： 円筒座標系で表すと点Q(r, θ, z)においてA=(0, A_y, 0)。円筒座標のローテーション演算子は、(rot A)_r=(1/r)∂A_z/∂θ-∂A_θ/∂z、(rot A)_θ=∂A_r/∂z-∂A_z/∂r、(rot A)_z=(1/r)∂(rA_θ)/∂r-(1/r)∂A_r/∂θ。
4. 点Pにおける磁束密度を計算せよ。
   ヒント： 設問３の結果にρ=0を代入。