物理学BII

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参考書	「電磁気学II」 １１.電流と磁場（続々） (３９-５６ページ) 「物理学の基礎[3]」 ３０ 電流がつくる磁場 （１７０-１８０ページ）

１２-５ アンぺールの法則

磁場Hの線積分

1. 磁場中の閉曲線 s
2. s に沿って、磁場Hを周回積分 
3. アンぺールの法則
   -積分形-
   
   ¶ s を貫く電流 i

OHP-1 OHP-2 OHP-3 OHP-4 OHP-5

応用例 -無限に長い直線電流 i から距離rの点の磁場H-

1.  i をz軸とする円筒座標で考える
2. H = （H_r , H_θ , H_z）
3. Hは i を中心軸とする円周の接線方向
   ¶ H_θ以外はゼロ
4.  i を中心軸とする半径rの円周に沿って周回積分
   2πrH_θ
5. アンぺールの法則
   2πrH_θ = i
6. H = （0 , 1/2πr , 0）

OHP-6

１２-６ ソレノイドの作る磁場（続）

中心軸上以外の点Pでの磁場Hの向き

1. 点Pを含む垂直断面について反転
   ¶ i = -i となる
2. もとのものと反転したものとを合成
   ¶ i = 0なので、合成磁場はゼロ
3. Hは中心軸（x軸）方向 の成分のみを持つ

ソレノイド内部の点Pでの磁場Hの大きさ

1. 中心軸上の磁場：H₀ = ni e_x （参照点）
2. 長方形の経路 ABCD
   
   • 中心軸上の線分AB
   • 点Pを通りABに平行な線分CD
3. 長方形の経路ABCDにアンぺールの法則を適用
4. 経路ABCDは電流を含まない
   H₀ dx - H dx = 0
   ¶ AB = CD = dx
5. H = H₀ =  ni e_x
   ¶ 磁場Hはソレノイド内部でH₀（どこでも同じ）

ソレノイド外部の点P'での磁場Hの向きと大きさ

1. 中心軸上の磁場：H₀ = ni e_x （参照点）
2. 長方形の経路 ABC'D'
   • 中心軸上の線分AB
   • 点P'を通りABに平行な線分C'D'
3. 長方形の経路ABC'D'にアンぺールの法則を適用
4. 経路ABC'D'は電流 ni dxを含む
   H₀ dx - H dx =  ni dx
   ¶ AB = CD = dx
5. H = H₀ -ni e_x = 0
   ¶ 磁場Hはソレノイド外部でゼロ

OHP-7 OHP-8 OHP-9

１２-７ 電流密度

広がりを持った導体内の電流

1. 電流密度 J
   
   • 流れの垂直断面を通過する単位面積あたりの電流
   • ベクトル J = ( J_x , J_y , J_z )
2. アンぺールの法則
   -微分形-
   J = rot H

OHP-10 OHP-11

１２-８ rotの特性

事例１：回転する平面

1. 回転中心を原点Oとするxy平面を考える
2. 回転の角速度 ω
3. 速度場 V(x, y, z)
4. 点P(x, y, 0)において
   • V = (-ωy, ωx, 0)
   • rot V = 2ωe_z

事例２：回転する流体（水）

1. z軸を回転軸とする
2. 「速度Vは回転軸からの距離に反比例する」と仮定
3. 速度場 V(x, y, z)
4. 点P(x, y, z)において
   • V = (-cy/r², cx/r², 0)
     ただし、r=(x²+y²)^1/2。
   • rot V = 0

電磁気学のためのベクトル入門9

宿題

rot 演算子

次の式を証明せよ。

1. rot (grad V(x,y,z)) = 0
   ヒント：公式を利用
2. div (rot A(x,y,z)) = 0
   ヒント：公式を利用
3. １２-８節の事例１においてrot V = 2ω e_z
   ヒント：公式を利用
4. １２-８節の事例２においてrot V = 0
   ヒント：公式を利用；
      また、∂(y/r²)/∂y=1/r²-2y²/r³
      および∂(x/r²)/∂x=1/r²-2x²/r³
      を使う。