物理学BII

２学期	第９回 戻る 次へ
参考書	「電磁気学II」 １７.交流 (１５７-１９０ページ) 「物理学の基礎[3]」 ３３ 電磁振動と交流 （１３４-２６４ページ）

１７-１ 交流起電力

交流起電力の発生

1. 一様磁場中でコイルを回転
2. コイル
   • 面積 S
   • 巻き数 N
   • 磁束密度 B
   • 回転角速度 ω
3. コイルを通る磁束
   Φ(t) = BS sinωt
4. 磁束の変化から生じる誘導起電力
   e(t) = -dΦ/dt× N = -ωNBS cosωt
5. 交流起電力
   e(t) =  e₀ cos2πνt
   ¶ 振幅e₀、周波数νの交流

OHP-1

交流発電機の原理

1. 場磁石
   ¶ Bを作る磁場を与える
2. 電機子
   ¶ 回転するコイル
3. すべり環
   ¶ コイルの両端に取りつけた電極
4. ブラシ
   ¶ すべり環と接触し、電力を取り出す
5. 鉄心のコイル
   ¶ コイルを貫く磁束Φを強める

OHP-2

交流起電力と抵抗 -LR直列回路-

1. 交流起電力
   e(t)=e₀cosωt
2. インダクタンスLによる誘導起電力
   e_L = -L di/dt
3. キルヒホッフの法則
   
   ¶ R'はコイルの抵抗
4. 微分方程式
   
5. 微分方程式の解
   i = i₀ cos(ωt-β)
   ¶ i₀とβは定数
   • i₀=e₀/[(Lω)²+(R+R')²] ^1/2
   • β=tan^-1[Lω/(R+R')]
6. Rにかかる電圧
   v = Ri₀ cos(ωt-β)

OHP-3 OHP-4

１７-２ RLC回路

コンデンサの特徴

1. 直流は流れないが、交流は「流れる」
2. 両端の導線を等しい電流が流れる
   ¶ 極板には常に正負等量の電荷が存在する

RLC直列回路を流れる電流 i(t)

1. 交流起電力
   v(t) = v₀cosωt
2. キルヒホッフの法則
   
   ¶ Lによる電圧効果 L di/dt
   ¶ Cによる電圧効果 Q/C
   ¶ Rによる電圧効果 Ri
3. 両辺を微分
   
   ¶ Qとiとの関係: dQ/dt = i
4. i(t)についての微分方程式
   
   ¶ 強制振動の方程式

OHP-5 OHP-6 OHP-7

１７-５ インピーダンス

複素数表示の利用

1. 起電力の複素数表示
   E = E₀ e^iωt
   ¶ dE/dt = iωE
2. 電流の複素数表示
   I = I_R + i I_I  = I₀e^i(ωt-φ)
   ¶ dI/dt = iωI
3. 微分方程式の複素数表示
   
   ¶ RLC直列回路の場合
4. Iについての代数方程式
   (-Lω²+iωR+1/C)I =  iωE
   ¶ RLC直列回路の場合
5. 代数方程式の解
   I = (-Lω²+iωR+1/C) ^-1iωE
   ¶ RLC直列回路の場合
6. 解の実部が求める結果
   i(t) = Re I = I_R

OHP-8

微分方程式の解法

1. E = E₀ e^iωt
2. I = I₀ e^i(ωt-φ)
3. 微分方程式に代入
   
4. 方程式 ZI = E
   
   ¶ オームの法則 Ri = V 
5. 解: I = E/Z
   
6. インピーダンス Z（複素数）
   • 実部： 抵抗
   • 虚部： リアクタンス
   • 例：R(抵抗）、iLω（インダクタンス）、-i/Cω（コンデンサ）
7. アドミッタンス Y（複素数）
   • 定義： Y = 1/Z
   • 実部： コンダクタンス（G）
   • 虚部： サセプタンス（B）

OHP-9 OHP-10

インピーダンスの直列結合と並列結合

1. 抵抗と同様に考えて良い
2. 直列結合：Z = Z₁ + Z₂
3. 並列結合：Y = Y₁ + Y₂
4. キルヒホッフの法則の一般化

１７-８ 実効値

交流の強さの指標

1. 瞬時値I(t)は常に変化
   I(t) = I₀ cos iωt
2. １周期の平均はゼロ
   ¶ 指標にならない！
3. １周期の２乗平均は有限
   ¶ 指標に採用
4. 実効値 I
   -２乗平均値の平方根（RMS）-
   
5. 交流電力
   -平均値-
   
   ¶ 力率 cosθ

OHP-11 OHP-12

宿題

RLC回路

抵抗R、インダクタンスL、コンデンサーCを直列結合した回路に交流起電力 E(t) = E₀e^iωtを接続し た。

1. 回路のインピーダンスZを求めよ。
   ヒント：Z =  Z_R+Z_L+Z_C。
2. 回路のアドミッタンスYを求めよ。
   ヒント：Y^-1 =  Y_R^-1+Y_L^-1 +Y_C^-1。
3. 回路を流れる電流Iを求めよ。
   ヒント：I =  E/Z。
4. 回路を流れる電流の強さ（振幅|I|）を求めよ。
   ヒント：|I| =  (I_R²+I_I²) ^1/2。
5. 電流の強さを、角周波数ωの関数としてグラフに描いてみよ。 また、最大値をとるときの角周波数ω_pを求めよ。
   ヒント：電卓やコンピュータを使用 して計算。