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: アインシュタインモデルとデバイモデル : 格子振動とフォノン : 1種類の原子からなる1次元格子   目次

2種類の原子からなる1次元格子

2種類の原子の質量 $= M_{1}$(奇数),$M_{2}$(偶数) バネ定数と原子間距離 $=$ 交互に$K_{1}$$K_{2}$$a_{1}$$a_{2}$ 格子定数 $a = a_{1} + a_{2}$
$\displaystyle M_{1}{{\rm d}^{2}u_{2n-1} \over{{\rm d}t^{2}}} = K_{1}(u_{2n} - u_{2n-1}) + K_{2}(u_{2n-2} - u_{2n-1}),$     (2.1.9)
$\displaystyle M_{2}{{\rm d}^{2}u_{2n} \over{{\rm d}t^{2}}} = K_{1}(u_{2n-1} - u_{2n}) + K_{2}(u_{2n+1} - u_{2n})$     (2.1.10)

ここで
$\displaystyle u_{2n-1} = A_{1}{\rm exp}[{\rm i}[k(n - 1)a - \omega t],\ \ \ u_{2n} = A_{2}{\rm exp}[{\rm i}[k((n - 1)a + a_{1}) - \omega t],$     (2.1.11)

を代入すると
$\displaystyle -M_{1}\omega^{2}A_{1} = -(K_{1} + K_{2})A_{1} + (K_{1}{\rm e}^{{\rm i}ka_{1}} + K_{2}{\rm e}^{-{\rm i}ka_{2}})A_{2},$     (2.1.12)
$\displaystyle -M_{2}\omega^{2}A_{2} = (K_{1}{\rm e}^{-{\rm i}ka_{1}} + K_{2}{\rm e}^{{\rm i}ka_{2}})A_{1} - (K_{1} + K_{2})A_{2}$     (2.1.13)

したがって
$\displaystyle \omega^{2} = {1 \over{2}}[{M_{1} + M_{2} \over{M_{1}M_{2}}}(K_{1}...
...} + K_{2})^{2} - {16K_{1}K_{2} \over{M_{1}M_{2}}}\sin^{2}{ka \over{2}}]^{1/2}],$     (2.1.14)

(2-8)式について,以下の2つの場合を考察してみよう.
  1. $a_{1} = a_{2} = \frac{a}{2}$ $K_{1} = K_{2} = K$の場合

    $\displaystyle \omega^{2} = ({1 \over{M_{1}}} + {1 \over{M_{2}}})K \pm K[({1 \ov...
...}} + {1 \over{M_{2}}})^{2} - {4 \over{M_{1}M_{2}}\sin^{2}{ka \over{2}}}]^{1/2},$     (2.1.15)

    $k$が小さいときは(2-9)式を展開して
    $\displaystyle \omega_{\rm o}^{2} = 2K({1 \over {M_{1}}} + {1 \over{M_{2}}}),\ \ \ \omega_{\rm a}^{2} = {K \over{2}}{1 \over{M_{1} + M_{2}}}k^{2}a^{2},$     (2.1.16)

    $\omega_{\rm o}$→光学モード(optical mode)
    $k = 0$のとき, ${A_{2} \over{A_{1}}} = -{M_{1} \over{M_{2}}}$
    $\omega_{\rm a}$→音響モード(acoustic mode);長波長での弾性波
    $k = 0$のとき, ${A_{2} \over{A_{1}}} = 1$

    表 2.1: 光学モード,音響モードの原子運動
       
    $k \approx 0$ ac
      op
    $k \approx {\pi \over{a}}$ ac
      op

  2. $K_{1} \gg K_{2}$の場合;分子結合物質に対応するモデル
    (2-8)式を $\frac{K_{2}}{K_{1}}$で展開する.
    $\displaystyle \omega_{\rm o}^{2} = ({1 \over{M_1}} + {1 \over{M_2}})(K_{1} + K_...
...,\ \ \ \omega_{\rm a}^{2} = {4K_{2} \over{M_{1} + M_{2}}}\sin^{2}{ka \over{2}},$     (2.1.17)

    o→分子内振動から派生したもの. a→分子内では変位しない原子が弱いバネ定数$K_{2}$で結ばれているように振る舞う.

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Masashige Onoda 平成18年4月7日