アインシュタインモデルとデバイモデル

フォノンの振動数 $=$ $k$に依存する分散関係をもつ．
すべての振動子の振動数が一定の値$E$をもつモデル
↓
アインシュタインモデル（光学モードのフォノンだけを考えたモデル）

フォノンの分散関係をとり入れた，もっと現実的であるが単純化されたモデル
↓
デバイモデル（$\omega = vk$をすべてのモード，$k$に仮定したモデル）
$k$のとり得る値（連続変数と考える）

$$k = ~ {2\pi p \over{Na}} = {2\pi p \over{L}},\ \ \ p = 0, 1, \cdots, N-1,$$ (2.2.18)

$$\mbox{\boldmath$k$} = ({2\pi p_{1} \over{L_{1}}}, {2\pi p_{2} \over{L_{2}}}, {2\pi p_{3} \over{L_{3}}}),$$ (2.2.19)

$${\rm d}\mbox{\boldmath$k$} = {\rm d}k_{x}{\rm d}k_{y}{\rm d}k_{z},$$ (2.2.20)

$${\rm d}N = {\rm d}p_{1}{\rm d}p_{2}{\rm d}p_{3} = {1 \over{(2\pi)... ...k_{x}{\rm d}k_{y}{\rm d}k_{z} = {V \over{(2\pi)^{3}}}{\rm d}\mbox{\boldmath$k$}$$ (2.2.21)

$$\sum_{\mbox{\boldmath$k$}} \longrightarrow {V \over{(2\pi)^{3}}}\int{\rm d}\mbox{\boldmath$k$},$$ (2.2.22)

$$3N = 3{V \over{(2\pi)^{3}}}\int{\rm d}\mbox{\boldmath$k$} = 3{V \... ...{0}^{k_{m}}4\pi k^{2}{\rm d}k = 3{V \over{(2\pi)^{3}}}{4\pi \over{3}}k_{m}^{3},$$ (2.2.23)

縦波，横波の分散関係

$$\omega _{\rm l} = v_{\rm l}k,\ \ \ \omega_{\rm t} = v_{\rm t}k$$ (2.2.24)

$\omega$の上限値を1つの $\omega_{\rm D}$で置き換える．

$$3N = {V \over{(2\pi)^{3}}}{4\pi \over{3}}\cdot 3k_{m}^{3} \equiv ... ...}}\cdot({1 \over{v_{\rm l}^{3}}} + {2 \over{v_{\rm t}^{3}}})\omega_{\rm D}^{3},$$ (2.2.25)

$$\omega_{\rm D}^{3} = ({6\pi^{2}N \over{V}})\cdot({1 \over{v_{\rm l}^{3}}} + {2 \over{v_{\rm t}^{3}}})^{-1},$$ (2.2.26)

$$\omega_{\rm D} = v({6\pi^{2}N \over{V}})^{1/3},\ \ \ {1 \over{v^{3}}} = {1 \over{3}}({1 \over{v_{\rm l}^{3}}} + {2 \over{v_{\rm t}^{3}}}),$$ (2.2.27)

$$k_{\rm D} = {\omega_{\rm D} \over{v}} = ({6\pi^{2}N \over{V}})^{1/3},$$ (2.2.28)

$$\theta_{\rm D} = {\hbar\omega_{\rm D} \over{k_{\rm B}}} = {\hbar v \over{k_{\rm B}}} ({6\pi^{2}N \over{V}})^{1/3},$$ (2.2.29)

$$N(\omega){\rm d}\omega = 3{\rm d}N = 3{\rm d}[{V \over{(2\pi)^{3}... ...i \over{3}}k^{3}] = {3V \over{2\pi^{2}}}{\omega^{2} \over{v^{3}}}{\rm d}\omega,$$ (2.2.30)

$N(\omega)$：フォノンの状態密度