デバイモデル

熱的に励起された$k$モードのフォノン数は

$$\langle n_{k} \rangle = {1 \over{{\rm e}^{\beta\hbar\omega_{k}} -... ...0}^{\omega_{\rm D}}{\rm d}\omega N(\omega)\hbar\omega\langle n_{\omega}\rangle,$$ (2.3.36)

したがって

$$C_{\rm V} = ({\partial E \over{\partial T}})_{\rm V} = {\partial ... ...{3}\int_{0}^{x_{\rm D}}{\rm d}x{x^{4}{\rm e}^{x} \over{({\rm e}^{x} - 1)^{2}}},$$ (2.3.37)

$$x_{\rm D} = {\hbar\omega_{\rm D} \over{k_{\rm B}T}} = {\theta _{\rm D} \over{T}}$$ (2.3.38)

1. $x_{\rm D} \ll 1$のとき
   

   $$C_{\rm V} = 3Nk_{\rm B},$$ (2.3.39)

   
   

2. $x_{\rm D} \gg 1$のとき
   

   $$C_{\rm V} = {\partial \over{\partial T}}(9Nk_{\rm B}{T^{4} \over{... ...4} \over{15}}) = {12 \over{5}}\pi^{4}Nk_{\rm B}({T \over{\theta_{\rm D}}})^{3},$$ (2.3.40)

   
   

表 2.2: 典型的金属・絶縁体の $\theta_{\rm D}$

金属	$\theta _{\rm D}$ (K)	非金属	$\theta _{\rm D}$ (K)
Na	150	C (Diamond)	1860
Al	394	Si	625
Cu	315	Ar	85