GL方程式

特に第2種超伝導体の熱力学的性質，磁気的性質をうまく記述する方程式が1950年にギンツブルグ（V. L. Ginzburg）とランダウ（L. D. Landau）によって提唱された．

超伝導と常伝導との転移は，磁場のないときは2次の相転移である．これを現象論的にとらえるにはオーダーパラメーターを用いると便利で，エネルギーギャップ $\Delta$ あるいは超伝導電子数 $n_{\rm s}$ がそれに相当する．すなわち複素数である $\Psi$ という量を考え，

$\displaystyle \vert\Psi\vert^{2} \propto \Delta\ {\rm or}\ n_{\rm s},$

(7.5.20)

とおく．磁場がないときの自由エネルギーは，

$\displaystyle G_{\rm s} = G_{\rm n} + \alpha\vert\Psi\vert^{2} + \frac{\beta}{2}\vert\Psi\vert^{4},$

(7.5.21)

で表される． $G_{\rm s}$ ， $G_{\rm n}$ は，それぞれ超伝導状態，常伝導状態における自由エネルギーである．さらに磁場があるときの $\Psi$ の空間的な変化を考慮に入れて，自由エネルギーの中に $\vert\nabla\Psi\vert^{2}$ の項を加える．この項は量子力学における運動エネルギーの形と同じなので， $\left\vert\left(-{\rm i}\hbar\nabla - \frac{e^{*}}{c}\mbox{\bfseries\itshape {A}}\right)\Psi\right\vert^{2}$ と書き換える．ここで $\mbox{\bfseries\itshape {A}}$ は磁場があるときの効果である．また反磁性の効果(7.3.1)式も含めれば，自由エネルギーは

$\displaystyle G_{\rm s} - G_{\rm n} = \frac{1}{2m}\left\vert\left(-{\rm i}\hbar... ...pha\vert\Psi\vert^{2} + \frac{\beta}{2}\vert\Psi\vert^{4} + \frac{H^{2}}{8\pi},$

(7.5.22)

と書ける．この式に対して $\Psi$ ， $\Psi^{*}$ および $\mbox{\bfseries\itshape {A}}$ に関する変分をとると，

$\displaystyle \frac{1}{2m}\left(-{\rm i}\hbar\nabla - \frac{e^{*}}{c}\mbox{\bfseries\itshape {A}}\right)^{2}\Psi + \alpha\Psi + \beta\Psi^{3} = 0,$

(7.5.23)

$\displaystyle \mbox{\bfseries\itshape {J}} = -\frac{{\rm i}e^{*}\hbar}{2m}(\Psi... ...si^{*}) - \frac{{e^{*}}^{2}}{mc}\vert\Psi\vert^{2}\mbox{\bfseries\itshape {A}},$

(7.5.24)

を得る．

以下では $\Psi$ を量子力学的な波動関数と考え， $\vert\Psi\vert^{2}$ はその点における超伝導電子の密度 $n_{\rm s}$ に等しいと考える．磁場ゼロで電流のない場合，すなわち $\mbox{\bfseries\itshape {A}} = 0$ ， $\mbox{\bfseries\itshape {J}} = 0$ の場合を考える．このときは $\Psi$ の場所による変化 $\mbox{\bfseries\itshape {$\nabla$}}\Psi = 0$ であるから，そのときの $\Psi$ を $\Psi_{0}$ と書くと(7.5.4)式は

$\displaystyle \alpha\Psi_{0} + \beta\Psi_{0}^{3} = 0,$

(7.5.25)

となる．したがって

$\displaystyle \Psi_{0}^{2} = 0,\ {\rm or}\ -\frac{\alpha}{\beta},$

(7.5.26)

となる． $T > T_{\rm c}$ で $\Psi_{0} = 0$ ， $T < T_{\rm c}$ で $\Psi \ne 0$ となるためには，

$\displaystyle \alpha = \alpha_{0}(T - T_{\rm c}),$

(7.5.27)

であり， $\alpha_{0}$ は $\beta$ とともに温度によらない正の定数であればよいことがわかる．すなわち，

$\displaystyle \Psi_{0} = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{0} & \qquad T ... ...c{\alpha_{0}}{\beta}(T_{\rm c} - T)}} & \qquad T < T_{\rm c} \end{array}\right.$

(7.5.28)

となり，エネルギーギャップ $\Delta$ の $T_{\rm c}$ 付近での振舞いに一致する．(7.5.2)式に(7.5.7)式の有限解を代入すると

$\displaystyle G_{\rm s} - G_{\rm n} = -\frac{\alpha^{2}}{2\beta},$

(7.5.29)

となり，これから $G_{\rm s} < G_{\rm n}$ であるためには $\beta$ は正でなければならない．(7.5.10)式を(7.3.1)式と比べると臨界磁場は

$\displaystyle \frac{H_{\rm c}^{2}}{8\pi} = \frac{\alpha^{2}}{2\beta},$

(7.5.30)

と書けることになる．(7.5.8)式を入れれば $H_{\rm c}$ の温度変化を再現できる．

次にある点での $\Psi$ が $\Psi_{0}$ と違った値をとったと考える．そのとき $\Psi$ は空間的にどのように変化するであろうか．(7.5.4)式で $\mbox{\bfseries\itshape {A}} = 0$ とおき， $\Psi = \Psi_{0}f$ とおくと

$\displaystyle -\xi^{2}(T)\Delta f - f + f^{3} = 0,$

(7.5.31)

$\displaystyle \xi^{2}(T) = \frac{\hbar^{2}}{2m\vert\alpha\vert},$

(7.5.32)

となる．

の空間的な変化の仕方は $\xi(T)$ によって決まり， $\xi(T)$ が温度

におけるコヒーレンス長になる．(7.5.11)式より

$\displaystyle \xi(T) = \xi_{0}\sqrt{\frac{T_{\rm c}}{T_{\rm c} - T}},$

(7.5.33)

と書ける．

電流の式(7.5.5)は， $\Psi$ の変化の仕方が小さく， $\nabla\Psi = 0$ とおけるときは， $\vert\Psi_{0}\vert^{2} = n_{\rm s}$ とおいて

$\displaystyle \mbox{\bfseries\itshape {J}}(\mbox{\bfseries\itshape {r}}) = - \f... ...n_{\rm s}e^{*2}}{mc}\mbox{\bfseries\itshape {A}}(\mbox{\bfseries\itshape {r}}),$

(7.5.34)

となる．これの両辺のrotをとったものがロンドン方程式に相当する． $\Psi$ の空間変化は，だいたい $\xi$ の程度の距離で起きるから， $\nabla\Psi \approx \Psi/\xi$ であり，これが小さいということは， $\xi$ が大きいことにほかならず，第2種超伝導体の場合となる．

(7.5.15)式またはロンドン方程式では

$\displaystyle \lambda_{\rm L}^{2} = \frac{mc^{2}}{4\pi n_{\rm s}e^{*2}},$