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: ボゴリューボフ変換による解 : BCS理論 : 電子対形成とBCS基底状態   目次

励起状態とエネルギーギャップ

励起状態を作るには,電子は $\mbox{\boldmath$k$}\uparrow$に入るが $-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow$は空いており,もう一方の電子は $-\mbox{\boldmath$k$}'\downarrow$$k$ $\ne$ $\mbox{\boldmath$k$}'$)にいるという状態を考えればよい.この波動関数 $\Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'}$は,
$\displaystyle \Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'} = c_{\mbox{\boldma...
...row}^{\dag }c_{-\mbox{\boldmath$l$}\downarrow}^{\dag }) \vert \Psi_{0} \rangle,$     (7.11.103)

と書ける.この状態でのエネルギーを求めてみよう.
$\displaystyle W_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \langle \Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'} \vert H \vert \Psi_{\mbox{\boldmath$k$}\mbox{\boldmath$k$}'} \rangle$ (7.11.104)
  $\textstyle =$ $\displaystyle W_{\rm G} + \epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}(1 - 2v_{\mbox{\boldmat...
... V \sum_{\mbox{\boldmath$l$}}\,' u_{\mbox{\boldmath$l$}}v_{\mbox{\boldmath$l$}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle W_{\rm G} + E_{\mbox{\boldmath$k$}} + E_{\mbox{\boldmath$k$}'},$ (7.11.105)


$\displaystyle E_{\mbox{\boldmath$k$}} = \sqrt{\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2} + \Delta_{0}^{2}},$     (7.11.106)

を得る.これは,運動量$k$の電子を励起するのに(7.11.26)式で与えられる $E_{\mbox{\boldmath$k$}}$の励起エネルギーが必要であることを示している. $E_{\mbox{\boldmath$k$}}$は常に$\Delta_{0}$より大きいので,この$\Delta_{0}$エネルギーギャップと呼ぶ.

Masashige Onoda 平成18年4月7日