ボゴリューボフ変換による解

この理論はハートリーフォック近似を拡張したものである^7.1．これまでの仮定を含めて()式をもう一度書く．

$$H = \sum_{\mbox{\boldmath$k$}, \sigma}\epsilon_{\mbox{\boldmath$k... ...gma'}^{\dag } c_{\mbox{\boldmath$k$}', \sigma'}c_{\mbox{\boldmath$k$}, \sigma}.$$ (7.11.107)

ここで以下の変換を考える．

$$c_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow} = u_{\mbox{\boldmath$k$}}\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow} + v_{\mbox{\boldmath$k$}}\alpha_{-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}^{\dag },$$ (7.11.108)

$$c_{\mbox{\boldmath$k$}\downarrow} = u_{\mbox{\boldmath$k$}}\alpha_{-\mbox{\boldmath$k$}\uparrow} - v_{\mbox{\boldmath$k$}}\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}^{\dag },$$

これらを逆に解くと，

$$\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow} = u_{\mbox{\boldmath$k$}}c_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow} - v_{\mbox{\boldmath$k$}}c_{-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}^{\dag },$$ (7.11.109)

$$\alpha_{-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow} = u_{\mbox{\boldmath$k$}}c_{-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow} + v_{\mbox{\boldmath$k$}}c_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow}^{\dag }.$$

$\alpha^{\dag }$，$\alpha$もフェルミの交換関係を満たす．

$$\ [ \alpha_{\mbox{\boldmath$k$} \sigma}, \alpha_{\mbox{\boldmath$... ...\ ] = \delta_{\mbox{\boldmath$k$} \mbox{\boldmath$k$}'}\delta_{\sigma \sigma'}.$$ (7.11.110)

(7.11.29)式を(7.11.27)式に代入し， $\alpha^{\dag }$，$\alpha$で表す．たとえば，

$$c_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow}^{\dag }c_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow} = u_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2}\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow}^{... ... + \alpha_{-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow})$$

$$= v_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2} + u_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2}\alpha_{... ...+ \alpha_{-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow}),$$

などと変形する．相互作用の項の計算は面倒であるが，丁寧に行えばできる．結果はハミルトニアン全体として，

$$H = H_{0} + H_{2} + H_{2}' + H_{4},$$ (7.11.111)

ここで，

$$H_{0} = 2\sum_{\mbox{\boldmath$k$}}\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}... ...box{\boldmath$k$}'} + v_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2}v_{\mbox{\boldmath$k$}'}^{2}),$$ (7.11.112)

$$H_{2} = \sum_{\mbox{\boldmath$k$}} \left [ \left ( u_{\mbox{\bold... ...\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}^{\dag }\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\downarrow} ),$$ (7.11.113)

$$H_{2}' = \sum_{\mbox{\boldmath$k$}} \left [ 2u_{\mbox{\boldmath$k... ... \alpha_{-\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow} ),$$ (7.11.114)

$H_{4}$は4次の項であり多くの項を含んでいるが，後に必要になる項だけを書くことにする．

$$H_{4}^{(0)} = -V \sum_{\mbox{\boldmath$k$}}\,' \sum_{\mbox{\boldmath$k$}'}\,' \... ...mbox{\boldmath$k$}'} - u_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2}v_{\mbox{\boldmath$k$}'}^{2})$$

$$+ \alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\uparrow}^{\dag }\alpha_{\mbox{\boldma... ...pha_{\mbox{\boldmath$k$'}\uparrow}^{\dag }\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}'\uparrow}$$

$$+ \alpha_{\mbox{\boldmath$k$'}\downarrow}^{\dag }\alpha_{\mbox{\bol... ...{\mbox{\boldmath$k$}}^{2})u_{\mbox{\boldmath$k$}'}v_{\mbox{\boldmath$k$}'}] \}.$$ (7.11.115)

基底状態は$\alpha$についての真空状態，

$$\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\sigma} \vert\Psi_{\rm G}\rangle = 0,$$ (7.11.116)

であるとする．エネルギー期待値として残るのは，

$$W_{\rm G} = \langle \Psi_{rm G} \vert H \vert \Psi_{\rm G} \rangle = H_{0},$$ (7.11.117)

である．この式を最小にする $u_{\mbox{\boldmath$k$}}$， $v_{\mbox{\boldmath$k$}}$は，変分法により

$$2u_{\mbox{\boldmath$k$}}v_{\mbox{\boldmath$k$}} \left ( \epsilon_... ... \sum_{\mbox{\boldmath$k$}'}\,' u_{\mbox{\boldmath k}'}v_{\mbox{\boldmath k}'},$$ (7.11.118)

である．(7.11.38)式は，(7.11.34)式の$H_{2}'$ = 0という条件に他ならず，これは，ハートリーフォック近似では2次の項の非対角項がゼロになることを確認したことにすぎない．

(7.11.38)式は，(7.11.8)，(7.11.9)式と比べれば， $\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}$の代わりに

$$\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}'} = \epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}} - V\sum_{\mbox{\boldmath$k$}'}\,' v_{\mbox{\boldmath$k$}'}^{2},$$

が現れているだけで，あとは同じである．この余分な項はBCSでも小さいものとして無視しており，この方法はBCSと全く同等であることがわかる．これを無視すれば，()式の解は(7.11.10)，(7.11.10)式と同じである．

$$u_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2} = {1 \over{2}}\left ( 1 + {\epsilon_{... ...( 1 - {\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}} \over{E_{\mbox{\boldmath$k$}}}} \right ),$$ (7.11.119)

$$E_{\mbox{\boldmath$k$}} = \sqrt{ \epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}^{... ...V \sum_{\mbox{\boldmath$k$}}\,' u_{\mbox{\boldmath$k$}}v_{\mbox{\boldmath$k$}}.$$ (7.11.120)

(7.11.39)，(7.11.40)式を(7.11.33)式に代入すると，

$$H_{0} + H_{2} = W_{\rm G} + \sum_{\mbox{\boldmath$k$}} E_{\mbox{\... ...{\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}^{\dag }\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}),$$ (7.11.121)

を得る．こうしてBCS理論はハミルトニアン形式で書き直された．種々の物理量は(7.11.29)式のボゴリューボフ変換によって $\alpha^{\dag }$，$\alpha$で書き表すことができるので，計算も形式的にできる．