微分形のガウスの法則

ガウスの定理を(1.2.19)式で与えた積分形のガウスの法則，

$$\int_{S} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\bold... ...math$r$})dS = {1\over{\epsilon_{0}}} \int_{V} \rho(\mbox{\boldmath$r$}) d^{3}r.$$ (1.3.52)

に適用しよう．(1.3.14)式より，

$$\int_{V} {\rm div} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) d^{3}r = {1\over{\epsilon_{0}}} \int_{V} \rho (\mbox{\boldmath$r$}) d^{3}r,$$ (1.3.53)

となる．ここで$V$を任意の点 のまわりの微小領域$\Delta^{3} r$にとれば，div ( )$\Delta^{3} r$ = $\rho$($r$)$\Delta^{3} r$/$\epsilon$$_{0}$となるので，任意の場所で次式が成立する．

$${\rm div} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\rho(\mbox{\boldmath$r$})\over{\epsilon_{0}}},$$ (1.3.54)

あるいは，

$${\partial E_{x}(\mbox{\boldmath$r$})\over{\partial x}} + {\partia... ...ldmath$r$})\over{\partial z}} = {\rho(\mbox{\boldmath$r$})\over{\epsilon_{0}}}.$$ (1.3.55)