静電ポテンシャル

前節では，ナブラ，グラディエント，ダイバージェンスの演算子を扱ったが，今度はローテーションと呼ばれる演算子が登場する．これで電磁気学を学ぶために必要な演算子が揃うことになる．ゴールまであと少しなので，頑張れ！

図 1.13: 静電場の中での電荷の移動

図1.13に示すように，正電荷$Q$のまわりの空間には静電場$E$($r$)ができる．この電場の中で，正電荷$e$をもつ点電荷を，点A($r$$_{\rm A}$)から，曲線$C$に沿って点B($r$$_{\rm B}$)まで移動させようとすると，$E$($r$)から受ける力$e$$E$($r$)に対して外から仕事$W$をしなければならない．

曲線$C$上の微小ベクトルを$d$$r$と書くと，点電荷を$r$$_{\rm A}$から$r$$_{\rm B}$まで移動させるのに必要な仕事の量$W$は，

$$W = - e \int_{r_{\rm A}}^{r_{\rm B}} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (1.4.56)

となる．

ここで空間内に任意の曲線$C$を考え，この曲線上の電場の曲線$C$曲線に沿う方向の成分の和を考えよう．

図 1.14: 曲線の分割

図1.14のように曲線$C$を微小線分に分割し，その曲線上の$r$$_{i}$における微小ベクトルを$\Delta$$r$$_{i}$とし，その点における電場を$E$($r$$_{i}$)とおく．そして，

$$\sum_{{\rm A}}^{{\rm B}} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}_{i}) \cdot \Delta\mbox{\boldmath$r$}_{i}$$

において，曲線の分割を無限に小さくし，$\Delta$ $_{i}$ $\to$ 0の極限をとったものを，

$$\int_{C} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$}$$

と書く．これを曲線$C$に沿う線積分という．

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) = \left ( E_{x}(x, y, z),\ E_{y}(x, y, z),\ E_{z}(x, y, z) \right ),$$

$$d\mbox{\boldmath$r$} = (dx,\ dy,\ dz),$$

であるから，上式を成分で表せば，

$$\int_{C} \{E_{x}(x, y, z)dx + E_{y}(x, y, z)dy + E_{z}(x, y, z)dz\},$$ (1.4.57)

となる．$E_{x}$($x$, $y$, $z$)，$E_{y}$($x$, $y$, $z$)，$E_{z}$($x$, $y$, $z$)は曲線$C$上の電場である．

次節では，この線積分の値と道筋の関係を明らかにするために，ストークスの定理について説明しよう．