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: 第3回演習問題 : 静電ポテンシャル : ベクトル積と回転

静電ポテンシャル

\( \int_{C} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$} \)が途中の道筋に依存するかどうかを調べるためには，$E$が(1.4.6)式の条件を満たしているかどうかを見ればよい．rot $E$($r$)の$x$成分を計算してみると，
$\displaystyle ({\rm rot} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}))_{x}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\partial E_z(\mbox{\boldmath$r$})\over{\partial y}} - {\partial E_y(\mbox{\boldmath$r$})\over{\partial z}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {1\over{4\pi\epsilon_0}} \int_{-\infty}^{\infty}d^{3}r' \rho(\mbo... ... z}}{1\over{\mid \mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}' \mid^{3}}} \right ]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 0,$  

となる．$y$，$z$成分に関しても同様に0となるので，
$\displaystyle {\rm rot} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) = 0,$     (1.4.67)

が得られる．

上式を満たしている静電場$E$($r$)は，一般にある関数$\phi$($r$)の勾配で表すことができる．すなわち，

$\displaystyle \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) = - {\rm grad} \ \phi(\mbox{\boldmath$r$}),$     (1.4.68)

とおける．なぜならば，
$\displaystyle {\rm rot} \cdot {\rm grad}\ \phi(\mbox{\boldmath$r$}) = 0,$     (1.4.69)

が成立するからである．たとえばrot $\cdot$ grad $\phi$($r$)の$x$成分を計算してみると，
$\displaystyle ({\rm rot} \cdot {\rm grad}\ \phi(\mbox{\boldmath$r$}))_{x}$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\partial\over{\partial y}}({\rm grad}\ \phi)_{z} - {\partial\over{\partial z}}({\rm grad}\ \phi)_{y}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {\partial^2 \phi\over{\partial y \partial z}} - {\partial^2 \phi\over{\partial z \partial y}} = 0,$  

となる．この$\phi$($r$)を静電ポテンシャルまたは静電位という．(1.4.13)式の右辺の負の符号は，grad $\phi$($r$)が$\phi$($r$)の値の増加方向を向くとした場合，$E$($r$)は$\phi$($r$)の減少方向を向くことによる．

静電場$E$($r$)が(1.1.11)式で与えられているときの，静電ポテンシャル$\phi$($r$)の具体的表現は，

$\displaystyle \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})$ $\textstyle =$ $\displaystyle {1\over{4\pi\epsilon_0}} \int_{-\infty}^{\infty}dx' \int_{-\infty... ...)\rho(x', y', z')\over{\mid \mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}' \mid^3}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -{1\over{4\pi\epsilon_0}} {\rm grad}_{\alpha} \int_{-\infty}^{\in... ...box{\boldmath r}')\over{\mid \mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}' \mid}},$ (1.4.70)

となる．ここで$\alpha $は，$x$，$y$，$z$を意味し，それらの変数で微分をとることを示す．(1.4.13)式と(1.4.15)式とを比較すれば，不定の定数を除いて，
$\displaystyle \phi (\mbox{\boldmath r}) = {1\over{4\pi\epsilon_{0}}} \int_{-\in... ...box{\boldmath r}')\over{\mid \mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}' \mid}},$     (1.4.71)

となる．これを(1.4.1)式に代入すると，点電荷$e$を点$r$$_{\rm A}$から点$r$$_{\rm B}$まで移動させるために外部からなす仕事の量$W$は，
$\displaystyle W$ $\textstyle =$ $\displaystyle -e \int_{\mbox{\boldmath$r$}_{\rm A}}^{\mbox{\boldmath$r$}_{\rm B}} \mbox{\boldmath$E(r)$} \cdot d\mbox{\boldmath$r$}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle e \int_{\mbox{\boldmath$r$}_{\rm A}}^{\mbox{\boldmath$r$}_{\rm B}} {\rm grad}\ \phi(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle e \int_{\mbox{\boldmath$r$}_{\rm A}}^{\mbox{\boldmath$r$}_{\rm B}... ...artial y}}dy + {\partial \phi(\mbox{\boldmath$r$})\over{\partial z}}dz \right ]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle e \int_{\phi(\mbox{\boldmath$r$}_{\rm A})}^{\phi(\mbox{\boldmath$r$}_{\rm B})}d\phi(\mbox{\boldmath$r$})$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle e \left [ \phi(\mbox{\boldmath$r$}_{\rm B}) - \phi(\mbox{\boldmath$r$}_{\rm A}) \right ],$ (1.4.72)

となる．

1 [C]の点電荷を運ぶのに1 [J]の仕事を要するとき，その二点間の電位差を1 [V]という．

1 [V] = 1 [J/C] = 1 [NmA$^{-1}$s$^{-1}$]
電場の単位は，
1 [NA$^{-1}$s$^{-1}$] = 1 [V/m]
となる．
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Masashige Onoda 平成18年4月15日