ベクトル積と回転

図 1.18: ベクトル積

ベクトル$A$と$B$のベクトル積あるいは外積は，

$$\mbox{\boldmath$A$} \times \mbox{\boldmath$B$},$$

で表される．その大きさは，これら$A$と$B$の作る平行四辺形の面積$AB$sin$\theta$であり，その方向は$A$と$B$に直交し，$A$から$B$に回転したとき，右ねじの進む方向である（図1.18）．この種の量は，たとえば物体の角運動量（角運動量 = 腕の長さ $\times$ 運動量 = 距離 $\times$ 運動量 $\times$ sin$\theta$）で現れる．

この定義から，1.3節で示した直交座標系の基本ベクトルの間には

$$\mbox{\boldmath$e$}_x \times \mbox{\boldmath$e$}_y = \mbox{\boldm... ... \ \mbox{\boldmath$e$}_z \times \mbox{\boldmath$e$}_x = \mbox{\boldmath$e$}_y,$$ (1.4.62)

$$\mbox{\boldmath$e$}_x \times \mbox{\boldmath$e$}_x = \mbox{\boldm... ...h$e$}_y = \mbox{\boldmath$e$}_z \times \mbox{\boldmath$e$}_z = 0,\ \ \ \ \ \ \$$

の関係がある．また，

$$\mbox{\boldmath$A$} \times \mbox{\boldmath$B$} = - \mbox{\boldmath$B$} \times \mbox{\boldmath$A$},$$ (1.4.63)

が成り立つ．$A$ $\times$ $B$を$A$と$B$との成分で表すと，

$$\mbox{\boldmath$A$} \times \mbox{\boldmath$B$} = (A_yB_z - A_zB_y... ...A_zB_x - A_xB_z)\mbox{\boldmath$e$}_y + (A_xB_y - A_yB_x)\mbox{\boldmath$e$}_z,$$ (1.4.64)

となる．ここで，$A$ $\to$ $\nabla$，$B$ $\to$ $X$($r$)とおくと，

$$\mbox{\boldmath$\nabla$} \times \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldma... ...{\partial x}} - {\partial X_x\over{\partial y}} \right ) \mbox{\boldmath$e$}_z,$$ (1.4.65)

が得られる．こうして，

$$\mbox{\boldmath$\nabla$} \times \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\rm rot} \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}).$$ (1.4.66)