ポアッソン方程式の応用例

ポアッソン方程式から出発して，半径$a$の球内に全電荷$Q$が一様に分布しているときの電場を求めてみよう．（第2回演習問題3番，第3回演習問題2番を参照のこと）静電ポテンシャルは球の中心Oからの距離$R$だけの関数$\phi$($R$)で表されるはずである．座標原点を球の中心O中心に選ぶと，$R$$^{2}$ = $x$$^{2}$ + $y$$^{2}$ + $z$$^{2}$であるので，

$${\partial \phi(R)\over{\partial x}} = {d \phi(R)\over{dR}}{\partial R\over{\partial x}} = {x\over{R}}{d\phi(R)\over{dR}},$$

$${\partial\over{\partial x}} \left ( {\partial \phi(R)\over{\partial x}} \right ) = {1\over{R}}{d \phi(R)\over{dR}} - {x^{2}\over{R^{3}}}{d\phi(R)\over{dR}} + {x^{2}\over{R^{2}}}{d^{2}\phi(R)\over{dR^{2}}},$$

$$\Delta \phi(R) = {1\over{R}}{d^{2}\over{dR^{2}}}(R\phi(R)).$$

したがって，ポアッソン方程式は次の微分方程式に帰着する．

$${1\over{R}}{d^{2}\over{dR^{2}}}(R\phi(R)) = -{\rho(R)\over{\epsilon_{0}}}.$$

$R$ $>$ $a$では$\rho$($R$) = 0より，

$${d^{2}\over{dR^{2}}}(R\phi(R)) = 0,$$

$$R\phi(R) = A + BR, \$$

$$\phi(R) = {A\over{R}} + B.\ \$$

ここで$R$ $\to$ $\infty$で$\phi$($R$) $\to$ 0とすれば，$B$ = 0．したがって，

$$E(R) = - {\partial \phi(R)\over{\partial R}} = {A\over{R^{2}}}.$$

$R$ $<$ $a$では，

$$\rho = {3Q\over{4\pi a^{3}}},$$

$${1\over{R}}{d^{2}\over{dR^{2}}}(R\phi(R)) = - {3Q\over{4\pi\epsilon_{0}a^{3}}},$$

$$\phi(R) = - {QR^{2}\over{8\pi\epsilon_{0}a^{3}}} + C +{D\over{R}}.\$$

$R$ = 0で$\phi$(0)は有限であるから$D$ = 0でなければならない．したがって，

$$E(R) = - {\partial \phi(R)\over{\partial R}} = {QR\over{4 \pi \epsilon_{0} a^{3}}}.$$

また球面($R$ = $a$)における連続の条件から

$$A = {Q\over{4 \pi \epsilon_{0}}},$$

$$C = {3Q\over{8 \pi \epsilon_{0} a}},$$

が得られる．