起電力のある場所におけるオームの法則

図2.4のような閉じた導線回路を考え，その内部の閉曲線$C$閉曲線に沿ってオームの法則(2.2.7)を線積分すると，

図 2.4: 閉じた導線回路

$$\int_{C} {1 \over{\sigma}}\mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}... ...-\int_{C} {\rm grad}\ \phi(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$} = 0,$$ (2.2.19)

となる．電流は閉回路のなかを一定の方向に流れているのだから，電流に関する線積分は0になるはずがない．この矛盾は，導線回路のすべての場所でオームの法則が成立するとしたことによるもので，実際には起電力が必要である．すなわち電池の内部では(2.2.6)で表される電場の他に，電流を流し続ける電場$E$$^{\rm ex}$があって，

$$\mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}) = \sigma \left [ \mbox{\... ...ox{\boldmath$r$}) + \mbox{\boldmath$E$}^{\rm ex}(\mbox{\boldmath$r$}) \right ],$$ (2.2.20)

が成立すると考えなければならない．$E$$^{\rm ex}$は電位$\phi$で表すことのできない非保存的な電場である．上式を用いると，

$$\int_{C} {1 \over{\sigma}}\mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}... ...} \mbox{\boldmath$E$}^{\rm ex}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (2.2.21)

となり矛盾を生じない．ここで

$$\phi^{\rm ex} = \int_{C} \mbox{\boldmath$E$}^{\rm ex}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$ (2.2.22)

を起電力という．