アンペールの法則

ビオとサバールの法則(3.4.3)式は，線状の導線回路$C$に定常電流$I$が流れているときに，場所$r$につくられる静磁場を与える．導線回路の太さが無視できない場合には，(3.4.3)式を，

$$\mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\mu_{0} \over{4 \pi}}... ...oldmath$r$}') \over{\vert\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}'\vert^{3}}},$$ (3.6.15)

のように一般化する．ここで$i$($r$)は電流密度を表し，積分範囲は電流密度の存在する領域全体にわたる．しかしこの積分は複雑で，これを解析的に実行できるのは限られた場合だけである．そこで(3.6.1)式を，

$$\mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$A$}(\mbox{\boldmath$r$}),$$ (3.6.16)

$$\mbox{\boldmath$A$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\mu_{0} \over{4 \pi}} \int_{V} d^{3}r' {\mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}') \over{\vert\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}'\vert}}.$$ (3.6.17)

と変形する．$A$($r$)をベクトルポテンシャルという．

上の証明を行ってみよう．(3.6.2)式，(3.6.3)式から出発して$B$$_{x}$($r$)を計算すると，

$$\mbox{\boldmath$B$}_{x}(\mbox{\boldmath$r$}) = \left ({\rm rot}\ \mbox{\boldmath$A$}(\mbox{\boldmath$r$}) \right... ...}) \over{\partial y}} - {\partial A_{y}(\mbox{\boldmath$r$}) \over{\partial z}}$$

$$= {\mu_{0} \over{4 \pi}} \left [{\partial \over{\partial y}} \int_{... ...ath$r$}') \over{\vert\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}'\vert}} \right ]$$

$$= {\mu_{0} \over{4 \pi}}\int_{V} d^{3}r' \left [i_{z}(\mbox{\boldma... ...ial z}}{1 \over{\vert\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}'\vert}} \right ]$$

$$= {\mu_{0} \over{4 \pi}}\int_{V} d^{3}r' \left [-{i_{z}(\mbox{\bold... ...- z') \over{\vert\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}'\vert^{3}}} \right ]$$

$$= {\mu_{0} \over{4 \pi}}\int_{V} d^{3}r' {\left [\mbox{\boldmath$i$... ... \right ]_{x} \over{\vert\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}'\vert^{3}}},$$

となり，これは確かに(3.6.1)式の$x$成分に対応する．

さてベクトル解析の公式によると，一般に，

$${\rm div}\ {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}) = 0,$$

が成り立つ．なぜなら，

$${\rm div}\ {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\partial \over{\partial x}}({\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$})_{x} ... ...ath$X$})_{y} + {\partial \over{\partial z}}({\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$})_{z}$$

$$= {\partial \over{\partial x}} \left ( {\partial X_{z}\over{\partia... ... {\partial X_{y}\over{\partial x}} - {\partial X_{x}\over{\partial y}} \right )$$

$$= 0,$$

であるからである．この関係を用いると，(3.6.3)式より，

$${\rm div} \ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) = 0,$$ (3.6.18)

となる．これは磁場に関するガウスの法則で，磁荷密度というものが存在しないことを示している．すなわち，

$$\int_{V}{\rm div}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$})d^{3}r... ...$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot \mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$})dS = 0,$$ (3.6.19)

を意味する．これが静磁場における積分形のガウスの法則である．

次に(3.6.2)式の回転を計算してみよう．再びベクトル解析の公式から，

$${\rm rot}\ {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}) = ... ...ath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}) - \Delta \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}),$$

が成り立つ．なぜなら，rot rot $X$($r$)の$x$成分は，

$$\left ( {\rm rot}\ {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}) \right )_{x} = {\partial \over{\partial y}}({\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$})_{z} - {\partial \over{\partial z}}({\rm rot}\ \mbox{\boldmath$X$})_{y}$$

$$= {\partial \over{\partial y}} \left ( {\partial X_{y}\over{\partia... ... {\partial X_{x}\over{\partial z}} - {\partial X_{z}\over{\partial x}} \right )$$

$$= {\partial \over{\partial x}} \left ( {\partial X_{y}\over{\partia... ...l^{2}\over{\partial y^{2}}} + {\partial^{2}\over{\partial z^{2}}} \right )X_{x}$$

$$= {\partial \over{\partial x}} \left ( {\partial X_{x}\over{\partia... ...l^{2}\over{\partial y^{2}}} + {\partial^{2}\over{\partial z^{2}}} \right )X_{x}$$

$$= \left ( {\rm grad}\ {\rm div}\ \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmat... ...t )_{x} - \left ( \Delta \mbox{\boldmath$X$}(\mbox{\boldmath$r$}) \right )_{x},$$

であるからである．(3.6.2)，(3.6.3)式を上の関係に代入すると，

$${\rm rot}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\rm rot}\ {\rm rot}\ \mbox{\boldmath$A$}(\mbox{\boldmath$r$})$$

$$= {\mu_{0} \over{4\pi}} \left ( {\rm grad}\ {\rm div} - \Delta \rig... ...x{\boldmath$r$}') \over{\vert \mbox{\boldmath$r$}-\mbox{\boldmath$r$}' \vert}},$$ (3.6.20)

を得る．(3.6.6)式の右辺の第1項には，

$${\rm div}\ \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' {\mbox{\boldmath$i$}(\... ...x{\boldmath$r$}') \over{\vert \mbox{\boldmath$r$}-\mbox{\boldmath$r$}' \vert}},$$

の形が出てくる．ここで，この右辺の第1項は，

$${\partial \over{\partial x}}\int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' {i_{x... ...ox{\boldmath$r$}') \over{\vert \mbox{\boldmath$r$}-\mbox{\boldmath$r$}' \vert}} = \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' \left [ {\partial \over{\partial ... ...{\boldmath$r$}-\mbox{\boldmath$r$}' \vert}}\right ] i_{x}(\mbox{\boldmath$r$}')$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' \left ( -{\partial \over{\partial... ...{\boldmath$r$}-\mbox{\boldmath$r$}' \vert}}\right ) i_{x}(\mbox{\boldmath$r$}')$$

$$= - \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' {\partial \over{\partial x'}} \... ...{\boldmath$r$}' \vert}}{\partial i_{x}(\mbox{\boldmath$r$}')\over{\partial x'}}$$

$$= - \int_{-\infty}^{\infty} dy' dz' \left [ {i_{x}(\mbox{\boldmath$... ...{\boldmath$r$}' \vert}}{\partial i_{x}(\mbox{\boldmath$r$}')\over{\partial x'}}$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' {1 \over{\vert \mbox{\boldmath$r$... ...\boldmath$r$}' \vert}}{\partial i_{x}(\mbox{\boldmath$r$}')\over{\partial x'}},$$

となるので^3.2，

$${\rm div}\ \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' {\mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}') \over{\vert \mbox{\boldmath$r$}-\mbox{\boldmath$r$}' \vert}} = \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' {1 \over{\vert \mbox{\boldmath$r$... ...artial y'}} + {\partial i_{z}(\mbox{\boldmath$r$}')\over{\partial z'}} \right )$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} d^{3}r' {1 \over{\vert \mbox{\boldmath$r$... ...box{\boldmath$r$}' \vert}} {\rm div}\ \mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}')$$

$$= 0,$$

を得る．こうして，

$${\rm rot}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) = -{\mu_{0} \... ...mbox{\boldmath$r$}' \vert}} = \mu_{0} \mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}),$$ (3.6.21)

となる．ここで最後の式変形にはポアッソン方程式(1.5.6)式および静電ポテンシャル(1.4.16)式を利用した．(3.6.7)式を微分形のアンペールの法則という．

今，定常電流を囲む閉曲線$C$を考え，この閉曲線によって囲まれる任意の曲面$S$上で(3.6.7)式の面積分を行ってみると，

$$\int_{S}{\rm rot}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot... ...x{\boldmath$r$}) \cdot \mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$}) dS = \mu_{0} I,$$

となる．ここで曲面$S$を通過する全電流の強さを$I$とした．さらに，

$$\int_{S}{\rm rot}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot... ...= \int_{C} \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$},$$

であるので，

$$\int_{C} \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$} = \mu_{0} I,$$ (3.6.22)

が導かれる．もし閉曲線が電流を囲まないときは，

$$\int_{C} \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}) \cdot d\mbox{\boldmath$r$} = 0,$$ (3.6.23)

である．(3.6.8)式および(3.6.9)式が積分形のアンペールの法則である．