有限温度への拡張

ボゴリューボフ変換を用いて $\alpha^{\dag }$，$\alpha$を定義し，

$$H_{1} = \sum_{\mbox{\boldmath$k$}} E_{\mbox{\boldmath$k$}} (\alph... ...{\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}^{\dag }\alpha_{\mbox{\boldmath$k$}\downarrow}),$$ (7.11.122)

を考える．次に，

$$F_{1} = \langle H \rangle - \langle H_{1} \rangle - kT \log Z_{1},$$ (7.11.123)

を最小にするように，(7.11.42)式の $E_{\mbox{\boldmath$k$}}$と(7.11.29)式の $u_{\mbox{\boldmath$k$}}$， $v_{\mbox{\boldmath$k$}}$を決定する．これは有限温度のハートリーフォック近似を意味する^7.2．

$$Z_{1} = {\rm Tr} [ \exp (-\beta H_{1}) ] = \prod_{\mbox{\boldmath$k$}} \left [ 1 + \exp (-\beta E_{\mbox{\boldmath$k$}}) \right ] ^{2},$$ (7.11.124)

$$\langle H_{1} \rangle = \sum_{\mbox{\boldmath$k$}} E_{\mbox{\bold... ...e = \sum_{\mbox{\boldmath$k$}} 2E_{\mbox{\boldmath$k$}}f_{\mbox{\boldmath$k$}},$$ (7.11.125)

$$f_{\mbox{\boldmath$k$}} = {1 \over{\exp (\beta E_{\mbox{\boldmath$k$}}) + 1}}.$$ (7.11.126)

$H$は(7.11.31)式のように表されているが， $\langle H_{2}' \rangle$ = 0， $\langle H_{4} \rangle$ = $\langle H_{4}^{0} \rangle$であり，

$$\langle H_{2} \rangle = 2\sum_{\mbox{\boldmath$k$}} [ \epsilon_{\... ...\,' u_{\mbox{\boldmath$k$}'}v_{\mbox{\boldmath$k$}'} ] f_{\mbox{\boldmath$k$}},$$ (7.11.127)

$$\langle H_{4}^{(0)} \rangle = -V\sum_{\mbox{\boldmath$k$}}\,' \su... ...v_{\mbox{\boldmath$k$}'}^{2}) ] f_{\mbox{\boldmath$k$}}f_{\mbox{\boldmath$k$}'}$$ (7.11.128)

である．これらを(7.11.43)式に代入する． $\partial F_{1} / \partial E_{\mbox{\boldmath$k$}}$ = 0より，

$$E_{\mbox{\boldmath$k$}} = (u_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2} - v_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2}) [\eps... ...\boldmath$k$}'}^{2} - v_{\mbox{\boldmath$k$}'}^{2} ) f_{\mbox{\boldmath$k$}'} ]$$

$$+ 2u_{\mbox{\boldmath$k$}}v_{\mbox{\boldmath$k$}}V\sum_{\mbox{\bold... ..._{\mbox{\boldmath$k$}'}v_{\mbox{\boldmath$k$}'}(1 - 2f_{\mbox{\boldmath$k$}'}).$$ (7.11.129)

$\partial F_{1} / \partial v_{\mbox{\boldmath$k$}}$ = 0より，

$$2u_{\mbox{\boldmath$k$}}v_{\mbox{\boldmath$k$}} [\epsilon_{\mbox{... ..._{\mbox{\boldmath$k$}'}v_{\mbox{\boldmath$k$}'}(1 - 2f_{\mbox{\boldmath$k$}'}).$$ (7.11.130)

(7.11.49)，(7.11.50)式の左辺の括弧内で

$$V \sum_{\mbox{\boldmath$k$}'}\,'v_{\mbox{\boldmath$k$}'}^{2} + V ... ...{\boldmath$k$}'}^{2} - v_{\mbox{\boldmath$k$}'}^{2} ) f_{\mbox{\boldmath$k$}'},$$

を無視すると，(7.11.50)式の解は，

$$u_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2} = {1 \over{2}}\left ( 1 + {\epsilon_{... ...( 1 - {\epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}} \over{E_{\mbox{\boldmath$k$}}}} \right ),$$

$$E_{\mbox{\boldmath$k$}} = \sqrt{ \epsilon_{\mbox{\boldmath$k$}}^{2} + \Delta^{2} },$$ (7.11.131)

$$\Delta = V \sum_{\mbox{\boldmath$k$}}\,' u_{\mbox{\boldmath$k$}'}... ...'}\,' {\Delta \over{2E_{\mbox{\boldmath$k$}'}}}(1 - 2f_{\mbox{\boldmath$k$}'}),$$ (7.11.132)

となる．(7.11.52)式をギャップ方程式と呼ぶ．

ギャップ方程式について調べよう．状態密度をフェルミ面での値$N(0)$で近似すると，

$${1 \over{N(0)V}} = \int_{0}^{\hbar\omega_{\rm c}} {{\rm d}\epsilo... ...}}}} \tanh \left [ {1 \over{2}}\beta \sqrt{\epsilon^{2} + \Delta^{2}} \right ],$$ (7.11.133)

となる．(7.11.53)式から決まる$\Delta$は，$\beta$，すなわち温度$T$によって変化する．tanhの項は$T$が増加すると減少するので，(7.11.53)式から決まる$\Delta$は温度が増加すると単調に減少する．$\Delta$ = 0になる温度が$T_{\rm c}$である．すなわち，

$${1 \over{N(0)V}} = \int_{0}^{\hbar\omega_{\rm c}} {{\rm d}\epsilon \over{\epsilon}} \tanh \left ({\epsilon \over{2kT_{\rm c}}} \right ),$$ (7.11.134)

から$T_{\rm c}$は決定される．部分積分すると，

$${1 \over{N(0)V}} = [ \log x \tanh x ]_{0}^{{\hbar\omega_{\rm c} \... ...0}^{{\hbar\omega_{\rm c} \over{2kT_{\rm c}}}} {\rm d}x \log x {\rm sech}^{2} x,$$ (7.11.135)

を得る．ここで $\hbar\omega_{\rm c}$ $\gg$ $kT_{\rm c}$より， $$\tanh ({\hbar\omega_{\rm c} \over{2kT_{\rm c}}})$$ $\simeq$ 1と近似できるから，

$${1 \over{N(0)V}} = \log \left ( {\hbar\omega_{\rm c} \over{2kT_{\... ...0}^{{\hbar\omega_{\rm c} \over{2kT_{\rm c}}}} {\rm d}x \log x {\rm sech}^{2} x,$$ (7.11.136)

となる．さらに上式第2項の積分の上限を$\infty$に置き換えると，

$${1 \over{N(0)V}} = \log \left ( {\hbar\omega_{\rm c} \over{2kT_{\rm c}}} \right ) + \log \left ( {4 \exp \gamma \over{\pi}} \right ),$$ (7.11.137)

を得る．ここで$\gamma$はオイラー定数である．こうして，

$$kT_{\rm c} = {2\exp \gamma \over{\pi}}\hbar\omega_{\rm c}\exp \left ( - {1 \over{N(0)V}} \right )$$

$$= 1.13\hbar\omega_{\rm c}\exp \left ( - {1 \over{N(0)V}} \right ),$$ (7.11.138)

となる．(7.11.57)，(7.11.19)式より，

$${\Delta_{0} \over{kT_{\rm c}}} = 1.76,$$ (7.11.139)

が導かれる．実験によれば， $${\Delta_{0} \over{kT_{\rm c}}}$$ = 3.0 - 4.5である．