磁場分布測定

磁場分布はホール素子を用いたガウスメーターで測定する．ホール素子は壊れやすいので特に注意して取り扱うようにする．

ホール素子とは，ローレンツ力によるホール（Hall）効果を利用した磁場測定用の素子である．ホール効果実験は図9のように行われる． 電場$E_{x}$は$x$方向に伸びた伝導体にかかり，電流密度$i_{x}$が流れている．磁場 $\mbox{\bfseries\itshape {H}}$は正の$z$方向にかかっている．このときローレンツ力 $\mbox{\bfseries\itshape {F}} = - \frac{e}{c}\mbox{\bfseries\itshape {v}}\times\mbox{\bfseries\itshape {H}}$が働く．このために電子は負の$y$方向に偏る．電子がそこにたまるにつれて，電子の運動とその蓄積を妨げるように$y$方向に電場ができる．平衡状態では，横電場$E_{y}$はローレンツ力とつり合い，電流は$x$方向にのみ流れる．すなわち$E_{y}$は磁場$H$と電流$i_{x}$に比例する．ここで

$$R_{\rm H} = {E_{y} \over{i_{x}H}},$$ (2.13)

図 9: ホール効果測定法

r0.45

で定義される量をホール係数と呼ぶ．$R_{\rm H}$の符号により電荷の符号を決めることができる．

もう少し詳しく見てみよう．任意の成分$E_{x}$，$E_{y}$を持つ電場と，$z$軸に沿った磁場 $\mbox{\bfseries\itshape {H}}$とがかかっている場合の電流密度$i_{x}$，$i_{y}$を求める．電子1個当りの運動方程式は，

$$m{{\rm d}\mbox{\bfseries\itshape {v}} \over{{\rm d}t}} = -e \left... ...\bfseries\itshape {H}} \right ) - {m \over{\tau}} \mbox{\bfseries\itshape {v}},$$ (2.14)

となる．ここで$m$は電子の質量，$\tau$は緩和時間を表す．定常状態では，

$$-e \left ( E_{x} + \frac{1}{c}v_{y}H \right ) - {m \over{\tau}} v_{x} = 0,$$ (2.15)

$$-e \left ( E_{y} - \frac{1}{c}v_{x}H \right ) - {m \over{\tau}} v_{y} = 0.$$ (2.16)

単位体積中の自由電子数を$N$とし，上式の両辺に$Ne\tau/m$をかけ， $Ne^{2}\tau/m \equiv \sigma_{0}$， $-Nev_{x} = i_{x}$という関係を用いると，

$$\sigma_{0}E_{x} = {eH \over{mc}} \tau i_{y} + i_{x},$$ (2.17)

$$\sigma_{0}E_{y} = -{eH \over{mc}} \tau i_{x} + i_{y}.$$ (2.18)

ここで横電流$i_{y} = 0$とおけば，

$$E_{y} = -{eH\tau \over{mc\sigma_{0}}} i_{x},$$ (2.19)

$$R_{\rm H} = {E_{y} \over{i_{x}H}} = -{1 \over{Nec}}.$$ (2.20)

今の場合は，$R_{\rm H}$を既知とし，測定系の定電流値と測定電圧値をもとに磁場を求めている．