ホール効果

前節で導いたローレンツ力に基づく実験の一つにホール（Hall）効果があり，これは固体物理学の研究^3.1において非常に重要な情報を与える．実験は図3.4のように行われる．

図 3.4: ホール効果の実験

電場$E_{x}$は$x$方向に伸びた伝導体にかかり，電流密度$i_{x}$が流れている．磁場$B$は正の$z$方向にかかっている．このときローレンツ力$F$ = -$e$$v$$\times$$B$が働く．このために電子は負の$y$方向に偏る．電子がそこにたまるにつれて，電子の運動とその蓄積を妨げるように$y$方向に電場ができる．平衡状態では，横電場$E_{y}$はローレンツ力とつり合い，電流は$x$方向にのみ流れる．すなわち$E_{y}$は磁場$B$と電流$i_{x}$に比例する．ここで，

$$R_{\rm H} = {E_{y} \over{i_{x}B}},$$ (3.3.7)

で定義される量をホール係数と呼ぶ．$R_{\rm H}$の符号により電荷の符号を決めることができる．

もう少し詳しく見てみよう．任意の成分$E_{x}$，$E_{y}$をもつ電場と，$z$軸に沿った磁場$B$とがかかっている場合の電流密度$i_{x}$，$i_{y}$を求める．電子に働く力は(3.2.6)式で$e$を-$e$に置きかえればよく，電子1個当りの運動方程式は，

$$m{d \mbox{\boldmath$v$} \over{dt}} = -e \left ( \mbox{\boldmath$E... ...$v$} \times \mbox{\boldmath$B$} \right ) - {m \over{\tau}} \mbox{\boldmath$v$},$$ (3.3.8)

となる．ここで$m$は電子の質量，$\tau$は緩和時間を表す．定常状態では，

$$-e \left ( E_{x} + v_{y}B \right ) - {m \over{\tau}} v_{x} = 0,$$

$$-e \left ( E_{y} - v_{x}B \right ) - {m \over{\tau}} v_{y} = 0,$$

となる．単位体積中の自由電子数を$N$とし，上式の両辺に $\frac{Ne\tau}{m}$をかけると，

$$\sigma_{0}E_{x} = {eB \over{m}} \tau i_{y} + i_{x},$$

$$\sigma_{0}E_{y} = -{eB \over{m}} \tau i_{x} + i_{y},$$

を得る．ここで横電流$i$$_{y}$ = 0とおけば，

$$E_{y} = -{eB\tau \over{m\sigma_{0}}} i_{x},$$

$$R_{\rm H} = -{E_{y} \over{i_{x}B}} = -{1 \over{Ne}},$$ (3.3.9)

となり，自由電子数の濃度を求めることができる．