完全流体の運動

流体が運動しているときは流体の速度$v$が重要になる．$v$は，位置($x$，$y$，$z$)と時間$t$の関数である．流れのいたるところで$v$が$t$によらない流れは定常流と呼ばれる．

各点の$v$を表す矢印をたくさん描くと，矢印は連なって一群の曲線ができる．これらの曲線の接線がそこの$v$と一致する．このような曲線を流線という．

流体が運動しているときには接線応力が現れる．粘っこい流体ほど大きな接線応力が生じるので，この性質を粘性という．ここでは粘性の無視できる理想的な流体，すなわち，完全流体を扱う．完全流体は運動していても，静止流体と同様に，面に垂直な圧力しかはたらかない．

図6.7のように，定常流の中に多数の流線によって囲まれた管（流管）を考えよう．

図 6.7: 定常流の中の流管

定常流であるから流管は動かず，一つの流管内の流体は管内を動くだけで管外に出ることはない．断面Aにおける流体の密度，速さ，断面積を，それぞれ$\rho$$_{\rm A}$，$v$$_{\rm A}$，$S$$_{\rm A}$，断面Bにおけるそれらを$\rho$$_{\rm B}$，$v$$_{\rm B}$，$S$$_{\rm B}$とおく．$\Delta$$t$時間後に断面Aにあった流体が断面A$'$に，断面Bにあった流体が断面B$'$に移動したとする．$\Delta$$t$の間にAとBの断面で区切られた部分では，$\rho$$_{\rm A}$$v$$_{\rm A}$$S$$_{\rm A}$$\Delta$$t$だけの質量の流体が入り込み，$\rho$$_{\rm B}$$v$$_{\rm B}$$S$$_{\rm B}$$\Delta$$t$だけの質量の流体が出ていったことになる．この部分の質量は定常流なら一定でなければならないので，流入量と流出量は等しいはずであるから，

$$\rho_{\rm A}v_{\rm A}S_{\rm A} = \rho_{\rm B}v_{\rm B}S_{\rm B},$$

となる．AとBは流管内の任意の断面であるから，

$$\rho vS = {\rm const},$$ (6.5.11)

という関係が成り立つ．これを連続の方程式といい，流体における質量の保存を表している．縮まない流体なら密度$\rho$は一定であるから，$vS$ = 一定となる．

縮まない完全流体による定常流について，エネルギーの関係を考える．図6.8のように，一つの細い流管に沿って任意の2点A，Bをとり，それらの高さを$z_{\rm A}$と$z_{\rm B}$，圧力を$p_{\rm A}$，$p_{\rm B}$とおく．

図 6.8: 縮まない完全流体による定常流に関するエネルギーの関係

AB間にある流体が$\Delta t$だけ時間がたって，A$'$B$'$間に移動するとすると，その間に流体に対してなされる仕事$\Delta W$は，

$$\Delta W = p_{\rm A}S_{\rm A}v_{\rm A}\Delta t - p_{\rm B}S_{\rm B}v_{\rm B}\Delta t.$$ (6.5.12)

$\Delta t$の間にAB間に含まれる流体の力学的エネルギーはA$'$B$'$間に含まれる流体の力学的エネルギーへ増加し，増加分$\Delta E$は$\Delta W$に等しくなければならない．定常流であるから，重複しているA$'$B間の部分で何も変化せず，$\Delta E$はBB$'$間とAA$'$間に含まれる流体の力学的エネルギーの差ということになる．

$$\Delta E = \rho v_{\rm B}S_{\rm B}\Delta t \left ( {1 \over{2}} v... ...m A}S_{\rm A}\Delta t \left ( {1 \over{2}} v_{\rm A}^{2} + gz_{\rm A} \right ),$$

において$v$$_{\rm A}$$S$$_{\rm A}$ = $v$$_{\rm B}$$S$$_{\rm B}$を考慮すると，

$$p_{\rm A} + {\rho \over{2}} v_{\rm A}^{2} + \rho gz_{\rm A} = p_{\rm B} + {\rho \over{2}} v_{\rm B}^{2} + \rho gz_{\rm B},$$

が成り立つ．すなわち，1本の流線に沿って次の関係が得られる．

$$p + {1 \over{2}} \rho v^{2} + \rho gz = {\rm const}.$$ (6.5.13)

これはベルヌーイの定理として知られている．

図6.9のように，容器内の液体が下の小さな孔から流れ出す場合を考えよう．

図 6.9: 容器内の液体が下の小さな孔から流れ出す場合

短い時間内では液面の高さは変わらずそこの流速は0で定常流と見なせる．孔と液面の距離を$h$，液体の流出する速さを$v$とすると，液面でも孔の位置でも圧力は大気圧$p_{0}$に等しいので，ベルヌーイの定理により，

$$p_{0} + \rho gh = p_{0} + {1 \over{2}} \rho v^{2},$$

が成り立つ．これから，

$$v = \sqrt{2gh},$$ (6.5.14)

が得られる．この関係をトリチェリの定理という．孔から流れ出す液体の速さは，$h$の高さだけ自由落下したときの質点の速さに等しい．

飛行機の翼の断面を図6.10に示す．上面が下面に比べて少し膨らんでいる．上面に沿って流れる気流は翼を避けるために狭い道を通るので，速さは下面のそれに比べて大きくなる．このために下面の圧力は上面に比べて大きくなる．これが揚力を得る主な原因の一つとなっている．

図 6.10: 飛行機の翼の断面