積分形のガウスの法則

図 1.7: 点電荷$Q$の位置ベクトル$r$$_{Q}$を中心とする球面および法線ベクトル$n$

(1.1.7)式において，図1.7のような$r$$_{Q}$を中心とする半径$R$ = $\mid$$r$ - $r$$_{Q}$$\mid$の球面を考えよう．球面に立てた単位法線ベクトル$n$は半径の方向を向くので，

$$\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {\mbox{\boldmath$r$} -... ...oldmath$r$}_{Q} \over {\mid\mbox{\boldmath$r$} - \mbox{\boldmath$r$}_{Q}\mid}},$$

とおいてよい．したがって，

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(... ...$r$} - \mbox{\boldmath$r$}_{Q}\mid}} = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}}}{1\over{R^2}},$$

が得られる．ここで両辺に球の表面積4$\pi$$R$$^2$をかけると

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$})4\pi R^{2} = {Q\over{\epsilon_{0}}},$$ (1.2.29)

となる．すなわち，球の中心におかれた点電荷$Q$を中心として放射状に広がる電場を球面上で加え合わせたとき，その値は，球の中心にある電荷の値を$\epsilon$$_{0}$で割ったものに等しいことがわかる．

図 1.8: 点電荷$Q$を囲む任意の閉曲面$S$に関するガウスの法則の導出

今度は，図1.8のような点電荷$Q$を囲む任意の閉曲面$S$を考えてみよう．このときは，閉曲面$S$上にとった微小面$dS$とその上の電場$E$($r$)とは一般に直交していない．

$dS$に立てた単位法線ベクトルを$n$($r$)としよう．$E$($r$)の$n$($r$)方向の成分は，

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$}) = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}}\cos\theta,$$ (1.2.30)

となる．ここで$\theta$は$E$($r$)と$n$($r$)の間の角度を表す．ここで，微小面$dS$を点電荷$Q$からみた立体角$d\Omega$を^1.1，

$$R^{2}d\Omega = \cos\theta dS$$ (1.2.31)

として導入すると，(1.2.12)式は

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(... ...\over{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}}\cos\theta dS = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}}}d\Omega.$$ (1.2.32)

したがって，

$$\int_{S}\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldm... ...th$r$})dS = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}}}\int_{S}d\Omega = {Q\over{\epsilon_{0}}}.$$ (1.2.33)

すなわち，(1.2.11)式は点電荷$Q$を囲む任意の閉曲面に対して成り立つ．

図 1.9: 点電荷$Q$を囲まない任意の閉曲面$S$に関するガウスの法則の導出

次に，図1.9に示すように，点電荷$Q$をその内部に含まない閉曲面$S$を考えよう．このときは，面積分を

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(... ...ath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}')\cdot\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$}')dS',$$ (1.2.34)

のように分解して考えるとよい．今，

$$R^{2}d\Omega = \cos\theta dS,$$

$$R'^{2}d\Omega = \cos(\pi - \theta') dS',$$

より，

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$})dS = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}}}{\cos\theta\over{R^{2}}}dS = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}}}d\Omega$$

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}')\cdot\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$}')dS' = {Q\over{4\pi\epsilon_{0}}}{\cos\theta'\over{R'^{2}}}dS' = - {Q\over{4\pi\epsilon_{0}}}d\Omega,$$

となるので，

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(... ...$E$}(\mbox{\boldmath$r$}')\cdot\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$}')dS' = 0$$

$$\int_{S} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\boldmath$n$}(\mbox{\boldmath$r$})dS = 0.$$ (1.2.35)

これまでは，閉曲面として点電荷$Q$から引いた半直線が閉曲面$S$と二度以上交わらない場合を考えたが，それ以上交わる場合でも上式は成立する（証明略）．

閉曲面$S$の内部に点電荷$Q_{1}$，$Q_{2}$，$\cdots$，$Q_{n}$があり，その外部に点電荷$q_{1'}$，$q_{2'}$，$\cdots$，$q_{m'}$がある一般の場合を考えよう．このとき，これらの電荷が閉曲面$S$上の$r$なる場所に作る電場を，それぞれ$E$$_{1}$($r$)，$E$$_{2}$($r$)，$\cdots$，$E$$_{n}$($r$)および$E$$_{1'}$($r$)，$E$$_{2'}$($r$)，$\cdots$，$E$$_{m'}$($r$)とする．このとき全電場は，

$$\mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}) = \mbox{\boldmath$E$}_{1... ...}(\mbox{\boldmath$r$}) + \cdots + \mbox{\boldmath$E$}_{m'}(\mbox{\boldmath$r$})$$

(1.2.15)式，(1.2.17)式より，$S$内にある点電荷からの寄与は残り，$S$の外にある点電荷からの寄与は消える．

$$\int_{S} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\bold... ...$n$}(\mbox{\boldmath$r$})dS = {1\over{\epsilon_{0}}}(Q_1 + Q_2 + \cdots + Q_n).$$ (1.2.36)

これを積分形のガウスの法則という．

電荷が連続的に分布している場合には，空間を細かく分割し，それぞれの微小体積に番号を付け，場所$r$$_{i}$における電荷密度を$\rho$($r$$_{i}$)，そこでの微小体積を$\Delta^{3}$$r$$_{i}$として計算を行えばよい．

$$\int_{S} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\bold... ... {1\over{\epsilon_{0}}} \sum_{i} \rho(\mbox{\boldmath$r$}_{i}) \Delta^{3}r_{i},$$

において， $\Delta^{3}r_{i}$ $\to$ 0の極限をとると

$$\int_{S} \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$})\cdot\mbox{\bold... ...math$r$})dS = {1\over{\epsilon_{0}}} \int_{V} \rho(\mbox{\boldmath$r$}) d^{3}r.$$ (1.2.37)