光の回折

波は回折する．ここでは，フラウンホーファー回折を取り上げて，光の回折について考えよう．これは，光源も観測者も遮蔽から無限遠にある場合の回折^7.1をさし，回折格子その他で実用上重要である．

幅が$a$で，極めて細長いスリットに，波長$\lambda$（$\ll$ $a$）の平行光が垂直に入射する．

図 7.16: フラウンホーファー回折

入射光の方向と$\theta$だけ傾いた方向に平行に進む回折光を考えよう．平行光ならば，無限遠でしか合致しないが，現実にはレンズを用い，その焦点に回折光を集めることにより，回折光の干渉を観察することができる．この場合，図7.16のA$_{0}$B$'$からPまでの光学距離はどの回折光に関しても等しい．したがって，A$_{0}$BとA$_{0}$B$'$で挟まれた部分における各回折光の光路差が問題になる．BB$'$の長さ$s$は，

$$s = a \sin \theta.$$

A$_{0}$B間を$N$等分すると，各々の区分帯を通る回折光には$s$/$N$ずつの光路差がある．すなわち，A$_{0}$Bの位置では同位相でもA$_{0}$B$'$の位置では順に，

$$\delta = {2\pi s \over{\lambda N}},$$

の位相差が生じる．

光学距離の最も短い，A$_{0}$とA$_{1}$の区間から出てPに達する光の振動$u$$_{1}$を，

$$u_{1} = {Aa \over{N}} \sin \omega t = {Aa \over{N}} \sin {2\pi c \over{\lambda}}t,$$ (7.5.76)

とおく．ここで$Aa$は幅$a$のスリットから傾き$\theta$の方向に出る全回折光の振幅である．$i$番目の区分帯から出る波のPにおける振動は，

$$u_{i} = {Aa \over{N}} \sin \left [ {2\pi c \over{\lambda}}t - (i - 1)\delta \right ]$$

$$= {Aa \over{N}} \sin \left \{ {2\pi \over{\lambda}} \left [ ct - (i - 1){s \over{N}} \right ] \right \},$$ (7.5.77)

となる．すべての回折光のPにおける振動は，

$$u = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^{N} u_{i},$$

で与えられる．積分表示にするために，

$$(i - 1){s \over{N}} = z, \ \ \ \ \ {s \over{N}} = dz,$$

とおくと，

$$u = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^{N} {Aa \over{s}}{s \over{N}} \sin... ...a \over{s}} \int_{0}^{s} \sin \left [ {2\pi \over{\lambda}}(ct - z) \right ] dz$$

$$= Aa {\sin (\pi s/\lambda) \over{(\pi s/\lambda)}} \sin \left [ {2\pi \over{\lambda}} \left ( ct - {s \over{2}} \right ) \right ].$$ (7.5.78)

P点における明るさ$I$は，$u$の振幅の2乗に比例するから，

$$I \propto \left [ {\sin (\pi s/\lambda) \over{(\pi s/\lambda)}} \right ] ^{2}.$$ (7.5.79)

これから$I$の極大・極小を求める．

図 7.17: 回折光の明るさ$I$と傾き角$\theta$の関係

ここで，

$$\alpha = {\pi s \over{\lambda}} = {\pi a \sin \theta \over{\lambda}},$$

とおけば，

$${d \over{d\alpha}} \left ( {\sin \alpha \over{\alpha}} \right )^{... ...sin \alpha \over{\alpha}}{\alpha\cos\alpha - \sin\alpha \over{\alpha^{2}}} = 0,$$

より，

1. 極小は$\alpha$ = $m$$\pi$ ($m$ = $\pm$1, $\pm$2, $\cdots$)のとき，すなわち，
   

   $$\sin \theta = {m\lambda \over{a}},$$ (7.5.80)

   
   
   で，$I$ = 0．
2. 極大は$\alpha$ = 0または$\alpha$ = tan$\alpha$を満たす$\alpha$のとき，すなわち，
   

   $$\theta = 0, \ \ \ \ \ \sin \theta \sim \left ( m + {1 \over{2}} \right ){\lambda \over{a}}.$$ (7.5.81)

   
   

回折光の明るさ$I$と傾き角$\theta$の関係を図7.17に示す．