ローレンツ変換

ある瞬間S$'$がSに原点も座標軸も一致したとし，そのとき光がSからみてすべての方向に$c$という速度で伝わるとする．光の波面はSの原点Oを中心とする球面になるが，これは，

$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2}t^{2},$$ (8.2.5)

で表される．この式をガリレイ変換によってS$'$からみた記述に直せば，

$$(x' + ut')^{2} + y'^{2} + z'^{2} = c^{2}t'^{2},$$ (8.2.6)

となり，原点が-$ut'$にある球面となる．しかし，実際には，

$$x'^{2} + y'^{2} + z'^{2} = c^{2}t'^{2},$$ (8.2.7)

が成り立たなければならない．いま，

$$s^{2} = c^{2}t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2}, \ \ \ \ \ s'^{2} = c^{2}t'^{2} - x'^{2} - y'^{2} - z'^{2},$$ (8.2.8)

とおこう．S，S$'$は慣性系でどちらからみても他方は一定の速度で動くから，Sに対して一様な直線運動はS$'$に対しても一様な直線運動でなければならない．すなわち，($x$, $y$, $z$, $t$)についての1次の方程式は，($x'$, $y'$, $z'$, $t'$)についても1次の方程式でなければならない．したがって，($x$, $y$, $z$, $t$)と($x'$, $y'$, $z'$, $t'$)との間の変換は1次変換でなければならない．

光速度不変の原理により，$s^{2}$ = 0ならば$s'^{2}$ = 0で，その逆も成り立つから，

$$s'^{2} = ks^{2},$$ (8.2.9)

の形でなければならない．ここでの定数$k$は($x$, $y$, $z$, $t$)にも($x'$, $y'$, $z'$, $t'$)にも依存しない．もし依存すると，場所と時刻によって空間・時間の性質が違うことになってしまう．また空間は方向性がないから$k$はS，S$'$の相対速度の方向にもよらない．相対性原理によればSに対して成り立つことはS$'$に対しても成り立つから，

$$s^{2} = ks'^{2}.$$ (8.2.10)

(8.2.5)，(8.2.6)式から，

$$k^{2} = 1, \ \ \ \ \ k = \pm 1.$$ (8.2.11)

$u$ = 0の場合を考えれば$s^{2}$ = $s'^{2}$であるから，$k$ = 1でなければならない．このようにして，

$$c^{2}t^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} = c^{2}t'^{2} - x'^{2} - y'^{2} - z'^{2}.$$ (8.2.12)

こうして，$s^{2}$を不変に保つような1次変換を求めることになる．上で行った方法と同様の方法で，

$$y' = y, \ \ \ \ \ z' = z,$$ (8.2.13)

が得られる．(8.2.8)式は，

$$c^{2}t^{2} - x^{2} = c^{2}t'^{2} - x'^{2}.$$ (8.2.14)

S$'$の原点O$'$（$x'$ = 0）のSに対する運動は$x$ = $ut$であるから，

$$x' = \gamma (x - ut),$$ (8.2.15)

でなければならない．変換のもう一つの式として，

$$t' = \mu x + \nu t,$$ (8.2.16)

とおく．

S$'$からみたOの運動は，

$$x' = - ut',$$ (8.2.17)

で与えられると仮定しよう．一方，Oは$x$ = 0で与えられるから(8.2.11)，(8.2.12)式より，

$$x' = - \gamma ut = - {\gamma u t' \over{\nu}}.$$ (8.2.18)

これと(8.2.13)式とを比べて$\gamma$ = $\nu$となる．それゆえ，

$$x' = \gamma (x - ut), \ \ \ \ \ t' = \mu x + \gamma t.$$ (8.2.19)

これらを(8.2.10)式に代入して，

$$c^{2}t^{2} - x^{2} = c^{2}(\mu x + \gamma t)^{2} - \gamma^{2}(x - ut)^{2}.$$ (8.2.20)

$t^{2}$，$x^{2}$，$tx$の係数を比較して，

$$c^{2} = c^{2}\gamma^{2} - \gamma^{2}u^{2},$$

$$-1 = c^{2}\mu^{2} - \gamma^{2},$$

$$0 = c^{2}\gamma\mu + \gamma^{2}u.$$

上の第1，第3式から，

$$\gamma = \pm {1 \over{\sqrt{1 - {u^{2} \over{c^{2}}}}}}, \ \ \ \ \ \mu = \mp {u \over{c^{2}\sqrt{1 - {u^{2} \over{c^{2}}}}}},$$ (8.2.21)

が得られる．

$t$ = 0で$x$ $>$ 0に対して$x'$ $>$ 0になるように$x$，$x'$をとると$\gamma$ $>$ 0でなければならない．したがって，

$$\gamma = {1 \over{\sqrt{1 - {u^{2} \over{c^{2}}}}}}, \ \ \ \ \ \mu = - {u \over{c^{2}\sqrt{1 - {u^{2} \over{c^{2}}}}}}.$$ (8.2.22)

これで($x$, $y$, $z$, $t$)と($x'$, $y'$, $z'$, $t'$)の関係を与える変換の式が得られた．

$$x' = {x - ut \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}}, \ \ \ \ \ y' = y, \ \... ...ux \over{c^{2}}} \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}}, \ \ \ \ \ \beta = {u \over{c}}.$$ (8.2.23)

これらを$x$，$y$，$z$，$t$につき解いて，

$$x = {x' + ut' \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}}, \ \ \ \ \ y = y', \ ... ...x' \over{c^{2}}} \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}}, \ \ \ \ \ \beta = {u \over{c}},$$ (8.2.24)

が得られる．(8.2.19)，(8.2.20)式をローレンツ変換と呼ぶ^8.2．これらの式で$u$ $\ll$ $c$とすればガリレイの変換が得られる．(8.2.19)，(8.2.20)式から導かれるS系での速度$v$とS$'$系での速度$v$$'$の関係は，

$$v'_{x} = {v_{x} - u \over{1 - uv_{x}c^{2}}}, \ \ \ \ \ v'_{y} = ... ... \ \ \ v'_{z} = {\sqrt{1 - {u^{2} \over{c^{2}}}} \over{1 - uv_{x}c^{2}}}v_{z}.$$ (8.2.25)