マクスウェル方程式の不変性

物体に対して静止している慣性系をO$'$-$x'y'z'$系（S$'$系）とし，それに対して$x$軸方向に$u$の速度で運動している慣性系をO-$xyz$系（S系）とする．このとき，両座標系における座標値の間には(8.2.19)式で表される関係がある．S系において，マクスウェルの方程式^8.3，

$${\rm div}\ \mbox{\boldmath$D$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = \rho(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$ (8.6.28)

$${\rm div}\ \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) = 0,$$ (8.6.29)

$${\rm rot}\ \mbox{\boldmath$H$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - {\partia... ...dmath$r$}, t) \over{\partial t}} = \mbox{\boldmath$i$}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$ (8.6.30)

$${\rm rot}\ \mbox{\boldmath$E$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) + {\partial \mbox{\boldmath$B$}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\partial t}} = 0.$$ (8.6.31)

が成り立っているとする．これらを物体に対して静止しているS$'$系に変換すると，どうなるだろうか？

ローレンツ変換に伴って，$D$と$H$とが次のように変換されるとする．

$$D_{x}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = D_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$

$$D_{y}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {D_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - {\beta \over{c}}H_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$ (8.6.32)

$$D_{z}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {D_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) + {\beta \over{c}}H_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$

$$H_{x}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = H_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$

$$H_{y}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {H_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t) + uD_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$ (8.6.33)

$$H_{z}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {H_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - uD_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}}.$$

また，電流密度と電荷密度の変換は，

$$i_{x}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {i_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - c\beta\rho(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$

$$i_{y}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = i_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$ (8.6.34)

$$i_{z}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = i_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$

$$\rho '(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {\rho(\mbox{\boldmath$r$}, t) - {\beta \over{c}}i_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$ (8.6.35)

で与えられるものとする．さらに，$E$と$B$のローレンツ変換による変換性を次のように定める．

$$E_{x}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = E_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$

$$E_{y}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {E_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t) - uB_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$ (8.6.36)

$$E_{z}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {E_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) + uB_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$

$$B_{x}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = B_{x}(\mbox{\boldmath$r$}, t),$$

$$B_{y}'(\mbox{\boldmath$r$}', t') = {B_{y}(\mbox{\boldmath$r$}, t) + {\beta \over{c}}E_{z}(\mbox{\boldmath$r$}, t) \over{\sqrt{1 - \beta^{2}}}},$$ (8.6.37)

$$=$$

このとき，S$'$系においてもS系のそれとまったく同形のマクスウェルの方程式が成立する（証明略）．